如图，正三棱柱ABC-A （Ⅰ）证明：取BC中点O，连结AO，∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC，∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，连结B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点，∴B1O⊥BD，∴AB1⊥BD，在.
如图，在所有棱长均为2的正三棱柱ABC-A （I）连结A1C交AC1于点O，连结OD∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴O为A1C的中点，∵D为BC的中点，∴OD是△A1BC的中位线，可得A1B∥OD，∵OD？平面AC1D，A1B？平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D；（II）∵正三棱柱ABC-A1B1C1中.
（2013？郑州二模）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；（ （Ⅰ）证明：取BC中点为M，连结AM，B1M，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，面ABC⊥面CB1，△ABC为正三角形，所以AM⊥BC，故AM⊥平面CB1，又BD？平面CB1，所以AM⊥BD．又正方形BCC1B1中，tan∠BB1M＝tan∠CBD＝12，所以∠BB1M=∠CBD，所以BD⊥B1M，又B1M∩AM=M，所以BD⊥平面AB1M，故AB1⊥BD，又正方形BAA1B1中，AB1⊥A1B，A1B∩BD=B，所以AB1⊥面A1BD；（Ⅱ）取AA1的中点为N，连结ND，OD，ON．因为N，D分别为AA1，CC1的中点，所以ND∥平面ABC，又OD∥平面ABC，ND∩OD=D，所以平面NOD∥平面ABC，所以ON∥平面ABC，又ON？平面BAA1B1，平面BAA1B1∩平面ABC=AB，所以ON∥AB，注意到AB∥A1B1，所以ON∥A1B1，又N为AA1的中点，所以O为AB1的中点，即AOOB1＝1为所求．
