已知函数fx是定义域为R的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称1.若fx=x〔0≤1〕分别求x∈R时,x属于[–1,0]时,x属于[1,3]时函数fx的解析式2.画出满足条件的函数f x至少一个周期的图像(1)解析:∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期.T=4|0-1|=4,即函数f(x)是以4为最小正周期的周期函数又∵当x∈(0,1]时,f(x)=x当x∈[-1,0]时,f(x)=x当x∈[1,3]时,f(x)=2-x当x∈R时,f(x)=x-4k(4k-1,k∈Z)f(x)=(4k+2)-x(4k+1,k∈Z)(2)图像如下:已知函数fx是定义域为R的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称 1.f(-0)=f(0)得f(0)=02.f(x-1)=-f(1-x)=-f(1+x)得出f(x)=-f(x+2)从而得到f(x-2)=-f(x)=f(x+2)故周期为43.由周期函数可以得到:(画图就好理解些)当x∈(4k-3,4k-1)时 f(x)=4k-2-x当x∈.已知函数fx是定义域在R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),若f(1)=1,则f(3)-f(4)=? 答:f(x)是定义在R上的奇函数则有:f(-x)=-f(x),f(0)=0f(x+2)=-f(x)=f(-x)f(3)=f(1+2)=-f(1)=-1f(4)=f(2+2)=-f(2)=-f(0+2)=f(0)=0所以:f(3)-f(4)=-1-0=-1所以:f(3)-f(4)=-1已知fx是定义域为[-6,6]的奇函数,且fx在[0,3]上是x的一次函数 设f(x)在[0,3]上表达式为f(x)=ax+b,奇函数有f(0)=0;a先不求。设f(x)在[3,6]上表达式为f(x)=cx^2+dx+e,因为f(5)=3,f(5)'=0【f(5)是最大值,此点导数为0】,f(6)=2,联立方程组解得c=-1,d=10,e=-22。所以设f(x)在[3,6]上表达式为f(x)=-x^2+x-22.由此式计算f(3)=-3^2+30-22=-1因为在x=3点也符合[0,3]上的表达式f(x)=ax,所以f(3)=a3=-1,a=-1/3。所以f(x)在[0,3]上表达式为f(x)=-x/3。再根据f(x)是奇函数,可以写出:f(x)在[-3,3]上表达式为f(x)=-x/3;f(x)在[3,6]上表达式为f(x)=-x^2+x-22;f(x)在[-6,3]上表达式为f(x)=-[-x^2+x-22]=x^2-x+22 这是根据f(-x)=-f(x)写出的。已知函数fx是定义域在R上的奇函数,当x大于等于0时,f(x)=x(a+x) 求函数解析式 当x=0(-x就可以带入f(x)的解析式了)因为fx是定义域在R上的奇函数所以f(x)=-f(-x)=-[-x(a+(-x))]解得f(x)=ax-x^2注:(x^2:x的平方)已知奇函数fx的定义域(-3,3)上单调递减,且f(1+2sina)+f(2sina-3)<0, 不等式移项化为:f(1+2sina)(2sina-3)由奇数性质,化为:f(1+2sina)(3-2sina)由减函数性质,化为:1+2sina>;3-2sina得:sina>;1/2另外,由定义域要求,得:3,得:-23,得:0综合得:1/2即a的取值范围是:(2kπ+π/6,2kπ+π/2)U(2kπ+π/2,2kπ+5π/6)这里k为任意整数
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