如图，反比例函数y= 设AB与y轴交于点C．∵等边△ABO的面积为3，∴34AB2=3，∴AB=2．∵AB与横轴平行，即AB⊥y轴，∴OC垂直平分AB，在直角△OAC中，OA=AB=2，∠A=60°，∴AC=1，OC=3，∴A点坐标为（-1，3），将A点坐标代入反比例函数的解.
如图，反比例函数y= 设E（a，ka），则B纵坐标也为ka，E是AB中点，所以F点横坐标为2a，代入解析式得到纵坐标：k2a，因为BFBC-FC=ka-k2a=k2a，所以F也为中点，S△BEF=2=k4，k=8．故答案是：8．
如图，反比例函数y= （1）如图1，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D，则∠MCA=∠MDB=90°，∠AMC=∠BMD，MC=MD，AMC≌△BMD，S四边形OCMD=S四边形OAMB=6，k=6；（2）存在点E，使得PE=PF．由题意，得点P的坐标为（3，2）．①如图2，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．PGE=∠FHP=90°，∠EPG=∠PFH，PE=PF，PGE≌△FHP，PG=FH=2，FK=OK=3-2=1，GE=HP=2-1=1，OE=OG+GE=3+1=4，E（4，0）；②如图3，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．PGE=∠FHP=90°，∠EPG=∠PFH，PE=PF，PGE≌△FHP，PG=FH=2，FK=OK=3+2=5，GE=HP=5-2=3，OE=OG+GE=3+3=6，E（6，0）．
