如图，在正三棱柱ABC-A （1）连结D1D，∵矩形BB1C1C中，D是BC的中点，D1是B1C1的中点，∴D1D∥B1B，且D1D=B1B又∵A1A∥B1B，且A1A=B1B，∴A1A∥D1D且A1A=D1D，可得四边形AA1D1D是平行四边形，得A1D1∥AD∵A1D1？平面A1BD1且AD？平面A1BD1，.
如图，正三棱柱ABC-A （Ⅰ）证明：因为ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以CC1⊥平面ABC因为AD？平面ABC，所以CC1⊥AD因为△ABC是正三角形，D为BC中点，所以BC⊥AD，因为CC1∩BC=C，所以AD⊥平面B1BCC1．（Ⅱ）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD.
如图，在正三棱柱ABC-A 证明：（1）连接ED，∵D，E分别为BC，B1C1的中点，∴B1E∥BD且B1E=BD，∴四边形B1BDE是平行四边形，∴BB1∥DE且BB1=DE，又BB1∥AA1且BB1=AA1，∴AA1∥DE且AA1=DE，∴四边形AA1ED是平行四边形，∴A1E∥AD，又∵A1E？.
