为什么说知道了二次型的正负惯性指数就知道了其规范形 二次型正惯性指数全为1

为什么二次型正定，它的正惯性指数p=n呢？ 实二次型正定的定义是，对于任意一组不全为零的实数组，二次型都大于零。所以正惯性指数必须是n，你会产生这个疑问，大概是因为有疑问为什么不是等于秩r，因为若等于r的话，选定r之后到n之间的数为非零，1到r的数为零，则二次型等于0，故非正定了。所以必须是正惯性指数为n，为r的只能是半正定。希望我说的清楚了为什么正定二次型正惯性指数一定要为n 正惯性指数就是 特征值大于零的个数如果正惯性指数小于n，不妨设λ1≤0二次型f(x1，x2，.，xn)=xTAx=yTBy=λ1y12+λ2y22+.+λnyn2如果此时取值为（a，0，0，.，0)T则f(x1，。为什么说知道了二次型的正负惯性指数就知道了其规范形 我们需要理解一下二次型变换的本质是什么，用正交变换将二次型化为标准型或规范型的时候，实际上变换的是坐标，而对二次型的本质没有任何影响。下面我举一个形抄象一点的例子来帮助你理解：在草稿纸上画一个横轴Y纵轴X的平面坐标系，然后画一个X=Y^2的抛物线，画好之后发现这个坐标系看上去不太顺眼，于是保留抛物线不动，擦掉原来的坐标系，令Y=x，X=y，画上新的坐标系，于是抛物线方程变为了y=x^2，这和在中学课本里的写法比较一致，比较一下，表面上看两个方程不一样，而实际上我们变得只是坐标系，对抛物线没有任何影响，还是原来那一个。回到这里的二次型变换，实际上是同一个道理，之所以会有f＝y1^2－y2^2－y3^2跟y2^2－y3^2－y1^2两种袭不同的写法，是因为你选取的变换坐标不一样，而对二次型的本质没有任何影响，它表示的就是正惯性指数为1，负惯性指数为2的一个二次型，而通常情况下，我们都习惯将正惯性指数写在前面，将zd负惯性指数写在后面，这样看上去比较顺眼，所以一般只写作f＝y1^2－y2^2－y3^2这种形式，因此说，知道了二次型的正负惯性指数，也就知道了其规范型。什么是实二次型的的惯性指数 惯性指数分正，负惯性指数分别是二次型的标准形中 平方项的系数 大于0 的 个数(正惯性指数)与 小于0的个数(负惯性指数)为什么说知道了二次型的正负惯性指数就知道了其规范形 我们需要理解一下二次型变换的本质是什么，用正交变换将二次型化为标准型或规范型的时候，实际上变换的是坐标，而对二次型的本质没有任何影响。下面我举一个形象一点的例子。为什么二次型的正惯性指数为？ 负惯性指数为 n 半负定二次型秩为r，（r），其负惯性指数为 r 因为正惯性指数和负惯性指数在一个二次型里面其和等于它的秩，所以在正定二次证明任何一个秩为2的正惯性指数为1的二次型都可以表示为两个一次多项式的积 由已知，f=X^TAX 的规范型为 y1^2-y2^2.即存在可逆矩阵C，使得 C^TAC=diag(1，-1，0，.，0).变换为 X=CY.所以有 Y=C^-1X所以 y1，y2 都是 x1，x2，.，xn 是一次多项式所以 y1+y2，y1-y2 也是 x1，x2，.，xn 是一次多项式所以 f=y1^2-y2^2=(y1+y2)(y1-y2)是两个一次多项式的乘积求关于二次型正惯性指数的求法 有个简单例题求帮助 ^方法1：可配方为2113(3*x1)^2+(2*x2+1/4x3)^2+63/4*(x3)^2故正惯性指数为3，负惯5261性指数为0，选4102D方法2：写出二次型矩阵如下：3 0 00 4 10 1 4因为各阶1653顺序主子式均大于0，故为正定二次型。正惯性指数为3方法3，我觉得最好理解！对二次型矩阵求特征值：令下面行列式为03-λ 0 00 4-λ 10 1 4-λ即(5-λ)*(3-λ)^2=0，有λ为3、3、5，故正惯性指数为3

#正定矩阵#二次型#正定