欧拉乘积公式的欧拉乘积公式

欧拉乘积公式的欧拉乘积公式 对任意复数s，若 Re(s)>；1，则：Σn n-s=Πp(1-p-s)-1这一信息在隔了漫长的122年之后终于被 Bernhard Riemann(1826-1866)所破译，于是便有了Riemann 的著名论文？论小于给定数值的素数个数？。Euler 乘积公式的证明十分简单，唯一要小心的就是对无穷级数和无穷乘积的处理，不能随意使用有限级数和乘积的性质。我们在下面证明的是一个更为普遍的结果，Euler乘积公式将作为该结果的一个特例出现。广义欧拉乘积公式：设 f(n)满足 f(n1)f(n2)=f(n1n2)，且 Σn|f(n)|<；∞，则：Σnf(n)=Πp[1+f(p)+f(p2)+f(p3)+.]欧拉乘积公式的介绍 这一公式是 Leonhard Euler(1707-1783)于 1737 年在一篇题为?；对无穷级数的若干观察?；的论文中提出并加以证明的，式中 n 为自然数，p为素数。Euler乘积公式将一个对自然数的求和表达式与一个对素数的连乘积表达式联系在一起，蕴涵着有关素数分布的重要信息。为了纪念 Riemann 的贡献，Euler乘积公式左端的求和式被冠以Riemann的大名，并沿用Riemann使用过的记号ζ(s)，称为Riemann ζ函数。证明 欧拉乘积公式：对任意复数s，若 Re(s)>1，则：Σn n-s = Πp(1-p-s)-1 证明：由于 Σn|f(n)|<；∞，因此 1+f(p)+f(p2)+f(p3)+.绝对收敛.考虑连乘积中 p的部分(有限项)，由于级数绝对收敛，乘积又只有有限项，因此可以使用与普通有限求和及乘积一样的结合律及分配律.利用 f(n)的乘积性质可得：Πp矩阵乘法可以用欧拉公式吗 如果一定要利用Euler公式，可以借助以下观察：行列式为1的2阶正交矩阵总能表示为[cos(θ)，-sin(θ)；sin(θ)，cos(θ)]，记为S(θ).证明很容易，只用到正交矩阵各列构成一组标准正交基，以及行列式为1的条件，具体就不写了.矩阵S(θ)的特征多项式为x2-2cos(θ)x+1=0，特征值为e^(iθ)与e^(-iθ)，分别对应特征向量(1，-i)'与(1，i)'.故对可逆矩阵T=[1，1；i，i]有：T^(-1)·S(θ)T=[e^(iθ)，0；0，e^(-iθ)](对任意θ均成立).于是T^(-1)·S(θ)^n·T=[e^(iθ)，0；0，e^(-iθ)]^n=[e^(inθ)，0；0，e^(-inθ)]=T^(-1)·S(nθ)T.由T可逆，得S(θ)^n=S(nθ)，即所求证.还有一种看法，定义矩阵指数函数exp(X)=∑{0≤k} X^k/k。可证明该级数对任意方阵收敛，并具有性质：若X，Y都是n阶方阵并满足XY=YX，则exp(X)exp(Y)=exp(X+Y).作为推论，有exp(X)^n=exp(nX).考虑矩阵J=[0，-1，1，0]，易验证J2=-E，故J^(2k)=(-1)^k·E，J^(2k+1)=(-1)^k·J.于是可得exp(θJ)=∑{0≤k}(-1)^k·θ^(2k)/(2k)。E+∑{0≤k}(-1)^k·θ^(2k+1)/(2k+1)。J(∑{0≤k}(-1)^k·θ^(2k)/(2k)。E+(∑{0≤k}(-1)^k·θ^(2k+1)/(2k+1)。Jcos(θ)E+sin(θ)JS(θ).故S(θ)^n=exp(θJ)^n=exp(nθJ)=S(nθ)，即所求证.最后多说一点，。数学三考欧拉公式么？ 不考欧拉公式。数学三中欧拉公式在课外阅读中，不属于考试内容，大纲中也没有作要求，所以不考的。欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式，即将复数、指数函数与三角函数联系起来。拓扑学中的欧拉多面体公式。初等数论中的欧拉函数公式。欧拉公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律，V-E+F=2，它只适用于凸多面体。常用的欧拉公式有复数函数e^ix=cosx+isinx，三角公式d＾2=R＾2-2Rr，物理学公式F=fe^ka等。

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