1、在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=根号2AA1，D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE，求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值 1.设AA1=a，D在平面ABC1上投影为M，取AB中点N，连接CM，AM，BM，C1N.DAM为AD和平面ABC1所成角易求AD=BD=CD=（√6/2）aM为等腰三角形ABC1（AC1=BC1）外心，AM=BM所以M在C1N上，C1N⊥AB.CM=AM，AN平方+MN平方=AM平方AN平方+（C1N-AM）平方=AM平方解得 AM=（5√2/6）a，DM=√（AD平方-AM平方）=（1/3）a.sin∠DAM=DM/AD=√6/92.分别取AB，CD中点M，N连接MNBCF为等腰直角三角形FH=1易得V E-ABD=V E-AMNDV BCF-MNE=V B-CDEF=S BCF*EF=1/2*2*1*1=1V B-DEF：V B-CDEF=S EDF：S CDEF=1*1*1/2：(1+2)*1*1/2=1：3所以V B-DEF=1/33.过M、N分别作M1M11/AA1，N1N11/AD因A1M=AN，ABCD-A1B1C1D1为正方体AN1=DN11=A1M1=AM11=根号2a/3所以N1和M11重合，且M1MN1NN11所在平面/平面BB1C1C所以MN/平面BB1C1C当点移动到A1点，N点移动到A点时，MN的长的最小为棱长a
如图，在正三棱柱中，AB=2，AA （1）如图，将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接DC1交AA1于M，则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线，其长为DC2+CC12＝42+22＝25DMA≌△C1MA1，AM=A1M故A1MAM＝1（2）连接DB，C1B，则DB就是平面C1MB与平面ABC的交线在△DCB中，DBC=∠CBA+∠ABD=60°+30°=90°，CB⊥DB，又C1C⊥平面CBD，由三垂线定理得C1B⊥DB，∴C1BC就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角（锐角），侧面C1B1BC是正方形，∴C1BC=45°，故平面C1MB与平面ABC所成的二面角（锐角）为45°．
如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=根号2AA1，点D为A1C1的中点.求证：(1)BC1∥平面AB1D (2)A1C⊥平面AB1D (1)连接A1B (1)连接A1B 与AB1交于一点O 连接OD 则OD为三角形A1BC1的中位线 这两条线平行 又因为OD在三角形AB1D上 所以线面平行（2）B1D垂直于A1C1你应该能证出来 得出线面。
