存在指数为2的子群吗 基础代数问题 设G为群 H为G的子群 H在G中指数为2 求证H必为G的正规子群

证明，指数是2的子群一定是不变子群. 不妨设该子群为H.H有两个不同的左陪集，由于eH=He=H.因此两个陪集一个为H，另一个为G-H.任取a属于G，1、若a属于H，则aH=Ha=H2、若a属于G-H，则aH=Ha=G-H因此H为正规子群，也就是不变子群任一群中，指数为2的子群一定是正规的 设H是G的二阶子群，由指数为2可知对a不属于H，必有G=H并aH=H并Ha，那么aH=Ha，因此H正规证明，指数是2的子群一定是不变子群。 设G是一个群，H是G的一个指数=2的子群.对任意x∈G，若x∈H，显然有xH=Hx.若x∈G\\H，则G=H∪Hx，即G分解成H的两个右陪集之并.因此Hx=G-H.同理G有左陪集分解 G=H∪xH，于是得出xH=G。基础代数问题 设G为群 H为G的子群 H在G中指数为2 求证H必为G的正规子群 只要证明Ha=aH即可，其中a不属于H，因为H在G中的指数为2，所以Ha，aH都是G的不同于H的子群，所以必有Ha=aH成立.证毕.近世代数：证明：指数是2的子群必是正规子群 证明：设H，[G：H]=2，对G中任意元a，有两种情况：若a？H，则aH≠H，Ha≠H，故G有陪集分解G=H∪Ha=H∪aH，所以Ha=aH=G-H若a∈H，则显然aH=Ha=H因此，aH=Ha对一切a∈G都成立，即H是正规子群。证毕。求证不存在恰有2个指数为2的子群的群 若H、K是G的两个不同的指数为2的子群，则H、K、（H交K）都是G的正规子群，并且（G/（H交K））/（H/（H交K））=G/H从而G/（H交K）是四阶克莱因群，它有一个不同于H/（H交K）、K/（H交K）的指数为2的子群L.L在自然同态G-.证明，指数为2的子群是正规子群 指数为2的子群是正规子群的证明如下： 设H，[G：H]=2，对G中任意元a，有两种情况： 1、若a？H，则aH≠H，Ha≠H，故G有陪集分解G=H∪Ha=H∪aH，所以Ha=aH=G-H。。是一个有关近世代数的问题， （1）：（1）的阶为1，对换的阶均为2，从而第2，3，4个元素阶都是2，三个元的轮换的阶显然为3，从而第5，6个元素的阶均为3.（2）：你说的不变子群应该是正规子群.单位元显然为正规子群.先考虑每个元素的阶均小于等于2的.由于两个不同的对换乘积为三个元素的轮换，从而不可能同时出现在这种子群中不可能出现一个以上的对换，从而有三个，分别是单位元和第2，3，4四元素.在考虑含有三阶元的：每个三阶元的平方为另一个三阶元，从而若有必包含两个.从而一个正规子群为{（1），（123），（132）}，而三阶元乘以二阶元相当于一个不同的对换，从而若有二阶元必有全部二阶元，从而为该群本身.从而共有1+3+1+1=6个正规子群.

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