已知正三棱锥S-ABC的底面边长为根号3，侧棱长为3，球O是它的外接球 1.三角形ABC的高为根号3*根号3/2=3/2则其所在截面圆的半径为1三角形ABC所在截面圆O'的面积S'=∏*1^2=∏2.△SAO'中，SO'=根号(3^2-1)=根号8在SO’上取点O，使AO=SO 则O即为球心可得到SO=根号（81/32)球O的表面积S=4∏*（81/32）=81∏/8
已知三棱锥SABC的底面是正三角形点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心。 1.求证BC⊥SA 2.若S在底面ABC的射影为O，证明：O为底面△ABC的中点 3.若二面角H-AB-C的平面角等于30°，SA=2 根号3 ，求三棱锥S-ABC的体积 再作出SO⊥平面ABC，结合三垂线定理的逆定理，得到CO⊥AB，同理BO⊥AC，可得O是△ABC的垂心，因为△ABC是正三角形，所以S在底面△ABC的射影O是正△ABC的中心，最终得到三棱。
已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心． 证明：（1）∵AH⊥面SBC，BC在面SBC内，AH⊥BC，H是△SBC的垂心，∴SH⊥BC，又∵SH∩AH=H，∴BC⊥面SAH，BC⊥SA．（4分）(2)∵SO⊥面ABC，BC在面ABC内∴SO⊥BC，又∵BC⊥SA，SA∩SO=S，BC⊥面SOA，AO⊥BC，同理AB⊥OC，…（8分）因此O为底面△ABC的垂心，而三棱锥S-ABC的底面是正三角形，故O为底面△ABC的中心．（3）由（1）有SA=SB=SC=23，设CO交AB于F，则CF⊥AB，CF是EF在面ABC内的射影，EF⊥AB，∴EFC为二面角H-AB-C的平面角，EFC=30°，∠ECF=60°，OC=3，SO=3，AB=3，S△ABC＝34？32＝934，VS？ABC＝13S△ABC？SO＝939．（14分）
