一道双曲线的题，已知双曲线X^/A^-Y^/B^=1的离心率为2√3/3，焦距为2C，且2A^=3C，双曲线上一点P满足向量PF1乘以 PF2等于2，求向量PF1乘以 PF2的长度 有没有简便算法，我的算法是先根据离心率和条件求出方程，设P(M，N)联立双曲线方程与向量方程求出点P坐标，求出三边，用余弦定理求出∠F1PF2，然后用向量乘积求出结果，
已知椭圆C： 分析：（1）在焦点三角形F1AF2中，由，可得顶角A的余弦值，由椭圆定义及离心率为，即可将三边都用a表示，最后利用余弦定理列方程即可解得a值，进而得椭圆C的方程（2）先设出点P、Q的坐标及直线l的方程，代入椭圆方程，得关于x的一元二次方程，利用韦达定理得交点P、Q横坐标的和与积，再由存在点M（m，0），使得以线段MP，MQ为邻边的四边形是菱形，知，将坐标代入后可得m关于k的函数，求其值域，看是否符合题意即可（1）由已知，∴2c=a，即|F1F2|=a∵，∴又∵，∴，在△F1AF2中，由余弦定理得，即a2-4a+4=0∴a=2∴c=1，b2=a2-c2=3，∴椭圆方程为．（2）假设存在点M（m，0）（0＜m＜1）满足条件，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y=k（x-1），联立：，∵直线l过焦点，∴△＞0∴，∵线段MP，MQ为邻边的四边形是菱形∴，∴，∵x2-x1≠0，k=∴x2+x1-2m+k（y2+y1）=0，∵y2+y1=k（x1-1）+k（x2-1）=k（x2+x1）-2k∴x2+x1-2m+k2（x2+x1-2）=0，∴，∴，∴，又∵M（m，0）在线段OF2上，则0＜m＜1，故存在满足题意．本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质，焦点三角形的性质，直线与椭圆的位置关系，特别是直线与椭圆相交时利用韦达定理，设而不求的技巧解决问题的。
已知椭圆x^2/b^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，且F1PF2=60° 1.F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2PF1*PF2*cos角F1PF2=(PF1+PF2)^2-2PF1*PF2*(1+cos60）故PF1*PF2=(2a^2-2c^2)/(1+cos60)，△F1PF2的面积为1/2*PF1*PF2*sin60=(a^2-c^2)*sin60/(1+cos60)=(√3)a^2/12，c/a=√3/22.F1PF2的面积.
