如图，在所有棱长均为2的正三棱柱ABC-A （I）连结A1C交AC1于点O，连结OD∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴O为A1C的中点，∵D为BC的中点，∴OD是△A1BC的中位线，可得A1B∥OD，∵OD？平面AC1D，A1B？平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D；（II）∵正三棱柱ABC-A1B1C1中.
正三棱柱ABC-A （1）VABC？A1B1C1＝S△ABC？AA1＝34×22×2＝23，（3分）（2）建立如图空间坐标系O-xyz，设AP=a，（4分）则A，C，B1，P的坐标分别为(0，？1，0)，(0，1，0)，(3，0，2)，(0，？1，a)；（6分）AC＝(0，2，0)，B1P＝(？3，？1，a？2)AC？B1P＝？2≠0，B1P不垂直AC；直线B1P不可能与平面ACC1A1垂直；（8分）（3）BC1＝(？3，1，2)，由BC1⊥B1P，得BC1？B1P＝0，即2+2（a-2）=0∴a=1；又BC1⊥B1C∴BC1⊥面CB1P；BC1＝(？3，1，2)是面CB1P的法向量；（10分）设面C1B1P的法向量为n＝(1，y，z)，由B1P？n＝0B1C1？n＝0得n＝(1，3，？23)，（12分）设二面角C-B1P-C1的大小为α，则cosα＝BC1？n|BC1|n|＝64，二面角C-B1P-C1的余弦值大小为64．（14分）
正三棱柱ABC-A 如图所示，分别取BC、B1C1的中点O、O1，由正三棱柱的性质可得AO、BO、OO1令两垂直，建立空间直角坐标系．∵所有棱长都为2，∴A(3，0，0)，B（0，1，0），B1（0，1，2），C1（0，-1，2）．∴AB1＝(？3，1，2)，BC1＝(.
