设C为任一条光滑简单闭曲线，它不通过原点，也不围住原点，且指定一个方向为正方向．则 由题设，知曲线积分的P＝？yx2+4y2，Q＝xx2+4y2，且它们在C所围成的区域里具有一阶连续偏导数容易求得：？Q？x＝1x2+4y2？2x2(x2+4y2)2，？P？y＝？1x2+4y2+8y2(x2+4y2)2？Q？x？？P？y＝0由格林公式，设C所围成的平面区域为D，得cxdy？ydxx2+4y2=∫D(？Q？x？？P？y)dxdy＝0故选：B
求曲线积分∮ 由题意，设P(x，y)=-yx2+y2，Q(x，y)=xx2+y2，C所围成的区域为G（1）闭曲线L内部不包含原点时，显然P，Q在L所围区域G连续，并且有连续的偏导数？P？y=？Q？x=-x2+9y2(x2+9y2)2．故由格林公式，有：Lxdy-ydxx2+9y2=∫G(？Q？x-？P？y)dxdy=0．（2）闭曲线L内部包含原点时．作小椭圆域x2+9y2≤r2，其中r为充分小正数，使得椭圆域包含在G内，椭圆周为Γ，Γ取正向，则由格林公式有：∮Lxdy-ydxx2+y2=∫Γxdy-ydxx2+9y2．再注意到Γ的参数方程为：x=rcosφ，y=13rsinφ，0≤φ≤2π，得Γxdy-ydxx2+9y2=∫2π013rcosφrcosφ-13rsinφ(-tsinφ)r2dφ=2π3．于是，∮Cxdy-ydxx2+y2=2π3．
设函数f(u)连续，c为平面上逐段光滑的闭曲线 设f(u)为可微分的函数，C为光滑的闭曲线，证明：积分f(x2+y2)(xdx+ydy)=0 P=x3+y2x，dP/dy=2xy Q=x2y+y3，dQ/dx=2xy∵dP/dy=dQ/dx 曲线积分与路径无关。.
