平面区域d的边界曲线c是光滑的，则用曲线积分的形式表达区域d的面积为 1/2 1/2∮c xdy-ydx。同济大学出版的高等数学第六版下册第204页有证明过程和解释（格林公式的应用）。望采纳(^_^)
平面区域d的边界曲线c是光滑的，则用曲线积分的形式表达区域d的面积为
设L是平面区域Ω的边界曲线，L光滑．u（x，y）在 证明：由于？u？n=？u？xcos(n，x)+？u？ycos(n，y)，因而L？u？nds=∮L(？u？xcos(n，x)+？u？ycos(n，y))ds=∮L？u？xdx+？u？ydy由格林公式，得L？u？nds=？Ω(？2u？x2+？2u？y2)dxdy．
柯西古萨基本定理
设u（x，y），v（x，y）是D上的连续可微函数，D是由分段光滑闭曲线围成的平面区域，？D表示其正向边界．证明 证明：由于u（x，y），v（x，y）是D上的连续可微函数，因此uv是D上的连续可微函数由格林公式，得？Duvdy=∫D？(uv)？xdxdy=？D(u？v？x+v？u？x)dxdy即？Du？v？xdxdy=∮？Duvdy-？Dv？u？xdxdy
1.平面区域D的边界曲线L的正向一定是什么方向？ 1、假象沿曲线上行走时，区域在左手边时，该向为正方向.否则为负方向.2、圆柱面
格林公式，曲线积分与路径无关的充要条件. 首先格林公式中的两个条件是完全独立的，不存在哪个可以推出哪个的可能，由闭区域D由分段光滑曲线L围成是推不出P(x，y)及Q(x，y)在D上有一阶连续偏导数的（而且你在问题补充里说的那几个哪个也推不出来），因为围成D的分.
有界闭区间d由分段光滑曲线l围成，则d的面积为？如图的公式，怎么理解？ 二重积分是求体积的，体积等于底面积乘高，当高为1的时候，体积就等于面积的值啦，最后一行注解释了，按要求做，就得到二重积分对1的积分就是面积的2倍啦，就退出公式啦
