求曲线积分∮ 由题意,设P(x,y)=-yx2+y2,Q(x,y)=xx2+y2,C所围成的区域为G(1)闭曲线L内部不包含原点时,显然P,Q在L所围区域G连续,并且有连续的偏导数?P?y=?Q?x=-x2+9y2(x2+9y2)2.故由格林公式,有:Lxdy-ydxx2+9y2=∫G(?Q?x-?P?y)dxdy=0.(2)闭曲线L内部包含原点时.作小椭圆域x2+9y2≤r2,其中r为充分小正数,使得椭圆域包含在G内,椭圆周为Γ,Γ取正向,则由格林公式有:∮Lxdy-ydxx2+y2=∫Γxdy-ydxx2+9y2.再注意到Γ的参数方程为:x=rcosφ,y=13rsinφ,0≤φ≤2π,得Γxdy-ydxx2+9y2=∫2π013rcosφrcosφ-13rsinφ(-tsinφ)r2dφ=2π3.于是,∮Cxdy-ydxx2+y2=2π3.
)的光滑曲线,当-π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0<x<π时,函数y(x)满足y″+y+x=0.求y(x)的表达式. 由题意,当-π时,y(x)=?xy′.分离变量可得,ydy=-xdx,两边积分可得 y2=-x2+C.由于y(x)过点(-π2,π2),代入 y2=-x2+C 可得,C=π2,从而有 x2+y2=π2.当0π 时,y(x)满足y″+y+x=0.其对.
设C为任一条光滑简单闭曲线,它不通过原点,也不围住原点,且指定一个方向为正方向.则∮ cxdy?ydxx2+4y2 由题设,知曲线积分的P=?yx2+4y2,Q=xx2+4y2,且它们在C所围成的区域里具有一阶连续偏导数容易求得:?Q?x=1x2+4y2?2x2(x2+4y2)2,?P?y=?1x2+4y2+8y2(x2+4y2)2Q?x?P?y=0由格林公式,设C所围成的平面区域为D,得cxdy?ydxx2+4y2=∫D?Q?x?P?y)dxdy=0故选:B
设函数φ(x)具有
设C为任一条光滑简单闭曲线,它不通过原点,也不围住原点,且指定一个方向为正方向.则 由题设,知曲线积分的P=?yx2+4y2,Q=xx2+4y2,且它们在C所围成的区域里具有一阶连续偏导数容易求得:?Q?x=1x2+4y2?2x2(x2+4y2)2,?P?y=?1x2+4y2+8y2(x2+4y2)2?Q?x??P?y=0由格林公式,设C所围成的平面区域为D,得cxdy?ydxx2+4y2=∫D(?Q?x??P?y)dxdy=0故选:B
L是不经过原点的任一光滑的简单闭曲线的正向? L是不经过原点的任一光滑的简单闭曲线的正向:这里 L是不经过原点的任一光滑的简单闭曲线的正向,曲线应该分两种情况,一种是原点在曲线L围成的区域内,一种是不在。具体的求曲线积分的过程见上图。