已知函数f（x）=（a+1）lnx+
已知函数f（x）=lnx+x （1）∵g（x）=f（x）-ax=lnx+x2-ax，定义域：（0，+∞）∴g'（x）=1x+2x？a∵函数g（x）=f（x）-ax在定义域内为增函数，g'（x）=1x+2x？a≥0在（0，+∞）恒成立，即a≤1x+2x在（0，+∞）恒成立，令t（x）=1x+.
已知函数f(x)=a(x-1/x)-lnx 1，y'(x)=a(1+1/x^2)-1/x>；0a>；1/x(1+1/x^2)=1/[x+1/x]a>；1/22，根据f(x)和g(x)的大致图像，可知f(e)＞1即a(e-1/e)-1>；1a>；2/(e-1/e)
已知函数f（x）=lnx+x （1）f′（x）=1x+2x-a，x＞0，由已知，f′（x）＞0对x＞恒成立，即a≤1x+2x，x＞0，由于1x+2x≥21x×2x=22，所以a≤22（2）由已知，f′（x）=0在（0，+∞）内有穿越型的零点，即2x2-ax+1=0在（0，+∞）内有穿越型的零点，记g（x）=2x2-ax+1，由于g（0）=0，所以△＝a2？8＞0a4＞0，解得a＞22．设f（x）的两个极值点为x1，x2，则x1+x2=a2，x1x2=12，∴f（x1）+f（x2）=（lnx1+x12-ax1）+（lnx2+x22-ax2）lnx1x2-a（x1+x2）+（x1+x2）2-2x1x2ln12-a22+a24-1=-a24-1+ln12，所以所有极值之和小于-3+ln12；（3）令a=3，则f（x）=lnx+x2-3x，x＞1，f′（x）=2x3？3x+1x=(x？1)(2x？1)x＞0，即f（x）在（1，+∞）上为增函数，所以f（x）＞f（1）=-2，即lnx+x2-3x＞-2，3x-x2＜lnx+2，3（a1+a2+…+an）-（a12+a22+…+an2）（（a1a2…an）+2n=ln（n+1）+2n．
已知函数f（x）=lnx- （1）函数的定义域为（0，+∞），且f′（x）=x+ax2a＞0，∴f′（x）＞0f（x）在定义域上单调递增；（2）由（1）知，f′（x）=x+ax2①若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数f（x）在[1，e]上的最小值为32，f（x）min=f（1）=-a=32，a=-32（舍去）②若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，f（x）min=f（e）=1-ae=32，∴a=-e2（舍去）．③若-e＜a，令f′（x）=0，得x=-a．当1＜x＜-a时，f′（x），∴f（x）在（1，-a）上为减函数；当-a时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上为增函数，f（x）min=f（-a）=ln（-a）+1=32，∴a=-e．综上可知：a=-e．
已知函数f（x）=lnx+x （Ⅰ）函数f（x）=lnx+x 2-ax？（x＞0），则 f′(x)=1 x+2x-a（x＞0）．因为函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．即 1 x+2x-a≥0 在（0.
（2014？四川模拟）已知函数f（x）=lnx+x （Ⅰ）g（x）=f（x）-ax=lnx+x2-ax，g′(x)＝1x+2x？a由题意知，g′（x）≥0，对任意的x∈（0，+∞）恒成立，即a≤(2x+1x)min又∵x＞0，2x+1x≥22，当且仅当x＝22时等号成立∴(2x+1x)min＝22，可得a≤22（Ⅱ）由（Ⅰ.
已知函数f（x）=lnx+x （Ⅰ）由已知，h′(x)＝2x2？3x+1x，令h′(x)＝2x2？3x+1x=0，得x＝12，或x＝1，所以h（x）极小值=h（1）=-2，h(x)极大值＝h(12)＝54？ln2（Ⅱ）因为g（x）=f（x）-ax=lnx+x2-ax，属于g′（x）=1x+2x-a由题意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即a≤（2x+1x）min又x＞0，2x+1x≥22，当且仅当x=22时等号成立故（2x+1x）min=22，所以a≤22（Ⅲ）设F（x）在（x0，F（x0））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx-x2-kx结合题意，有2lnm？m2？km＝0①2lnn？n2？kn＝0②m+n＝2x0③2x0？2x0？k＝0④①-②得2lnmn-（m+n）（m-n）=k（m-n）所以k=2lnmnm？n-2x0，由④得k=2x0-2x0所以lnmn=2(mn？1)mn+1…⑤设u=mn∈（0，1），得⑤式变为lnu-2u？2u+1=0（u∈（0，1）），设y=lnu-2u？2u+1（u∈（0，1）），可得y′=(u？1)2u(u+1)2＞0，所以函数y=lnu-2u？2u+1在（0，1）上单调递增，因此，y|u=1=0，即lnu-2u？2u+1，也就是lnmn＜2(mn？1)mn+1此式与⑤矛盾所以函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线不能平行于x轴．
