欧拉常数如何证明 这是我 在 网上搜的不知对不对啊:学过高等数学的人都知道,调和级数S=1+1/2+1/3+…是发散的,证明如下:由于ln(1+1/n)(n=1,2,3,…)于是调和级数的前n项部分和满足 Sn。欧拉常数如何证明 这是我 在 网上搜的不知对不对啊:学过高等数学的人都知道,调和级数S=1+1/2+1/3+…是发散的,证明如下:由于ln(1+1/n)(n=1,2,3,…)于是调和级数的前n项部分和满足Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>;ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)由于lim Sn(n→)≥lim ln(n+1)(n→)=∞所以Sn的极限不存在,调和级数发散。但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)](n→)却存在,因为Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>;ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)由于lim Sn(n→)≥lim ln(1+1/n)(n→)=0因此Sn有下界而Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)将ln(1+1/n)展开,取其前两项,由于舍弃的项之和大于0,故ln(1+1/n)-1/(n+1)>;1/n-1/(2n^2)-1/(n+1)=1/(n^2+n)-1/(2n^2)>;0即ln(1+1/n)-1/(n+1)>;0,所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理,可知Sn必有极限,因此S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)](n→)存在。于是设这个数为γ,这个数就叫作欧拉常数,他的近似值约为0。.为什么欧拉常数连是否为有理数都无法证明? 答:欧拉常数γ,伴随着的数学问题都是非常高深的,所以目前对这个常数的性质掌握得不多。欧拉常数γ,在高等微积分中出现得相当频繁,也是数学中,最重要的常数之一,但是数学家对这个常数的研究却有很大的困难,虽然这个数极有可能是无理数甚至超越数,但目前没有任何人能给出证明。研究这个常数比较困难,一个大的原因就是,这个常数基本都出现在高等数学中,比如高等微积分,超越函数等等,在初等数学额中很少见到,就算有,伴随着的级数都是非常复杂的,难以用常规的方法去处理。而且目前的数学,没有通用的方法,去判断一个数是否是无理数或者超越数,所以对欧拉常数γ的研究,就更难啦!补充:欧拉常数γ,最先是瑞士大数学家莱昂哈德·欧拉提出,在1735年,欧拉发表的文章对这个常数进行了定义,并计算出了它的前6位小数,在1761年欧拉又将该值计算到了16位小数。好啦!我的答案就到这里,喜欢我们答案的读者朋友,还有点击关注我们—艾伯史密斯!为什么欧拉常数连是否为有理数都无法证明? 欧拉常数(wiki:Euler-Mascheroni_constant)是一个数学常数,通常希腊字母表示,欧拉常数的定义是请问…
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