如何证明初等函数在其定义域内处处连续用定义证明函数在定义域连续函数

2020-07-21知识11

如何证明函数在定义域内有至少两个极值点如果函数是连续可导的，则可利用f'(x)=0求出可能的极值点。然后判断该点两侧的导数值的符号是否相反，如果相反，是极值点，如果不相反，则不是。在定义域内至少有两个极值点，则f'(x)=0的解至少有2个。如果函数连续但不可导，则要先判断函数的单调性，根据函数的单调性来找极值点。在定义域内至少有两个极值点，函数在定义值的的单调区间一定要不少于3个，如增减增区间等。怎样证明函数y=根号x在定义域内连续申明：结果中“x0”均为“根号x0”，为简化描述，没有写根号二字，相信你有分辨的实力。（1）在函数y=根号x在定义域内取任意一点x0（不含边界）limy（x左趋近于x0）=x0；limy（x右趋近于x0）=x0；函数y在x0处有定义且y(x0)=x0；所以 limy（x左趋近于x0）=limy（x右趋近于x0）=y(x0)所以函数y=根号x在点x0处连续。由于x0的任意性，可知函数y=根号x在定义域（开区间）内连续（2）如果是闭区间，则要证明左右端点的连续性，以左端点a为例：（右边自己想）limy（x右趋近于a）=a；函数y在a处有定义且y(a)=a；所以 limy（x右趋近于a）=y(a)所以函数y=根号x在左端点处连续。（3）右端点。综上，得证。用极限定义证明下列函数在其定义域上皆连续： (1)证明：设h→0，则limf(x+h)=lim3(x+h)^2+x+h+5=lim3(x^2+2xh+h^2)+x+53x^2+x+5=f(x)所以f(x)在R上连续(2)设t→0，limh(x+t)-f(x)=1/(x+t)-1/x=-t/[(x+t)x]=0所以h(x)在R-{0}上连续.一致连续函数一定有界吗（在定义域内）一致连续函数不一定有界，y=x在（-infinity，+infinity）上一致连续，但是不是有界函数.怎么证明分段函数在定义域内是连续的？一般地，分段函数是由几个初等函数构成的，而初等函数在定义域的区间内是连续的。所以证明分段函数的连续性，先说明这几段函数各自在定义域的区间上连续，再证明在分段点的连续性。后者是重点，也难点，必须用单侧极限理论严格证明。亲，以简驭繁。举个简单的例子。证明：分段函数f(x)的连续性。f(x)={x，x≥0；x，x证明：显然y=x在（0，+∞）上是连续的，y=-x在（-∞，0）上是连续的.下面证明f(x)在x=0处连续。f(0+）=0，f（0-）=0，而f(0)=0，得f(0+)=f(0-)=f(0)，所以f(x)在x=0处连续.于是f(x)在定义域R上连续。

#定义域 #根号 #初等函数