已知定义域为R的函数 1、令x=1,则f(1)=(-2+b)/(2^2+a)f(-1)=(-2^(-1)+b)/(2+a)=-f(1)由于x∈R 令x=0,则f(0)=0,(1+b)/(1+a)=0,即1+b=0 b=-1 a=-8/32、由于t∈R 令t=0,则f(0)+f(-k)<;0 ==>;0-f(k)<;0==>;f(k)>;0,求出k的定义域即可
已知定义域为R的函数 是奇函数. (1)求a的值; (2)判断函数f(x)在R上的单调性,并证明你的结论. 解:(1)因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0。(2)f(x)是R上的减函数.理由如下:任取x 1,x 2∈R,且则x 1,即f(x 1)>f(x 2),所以f(x)是R上的减函数。(3)若不等式f(t 2 ﹣2t)+f(2t 2 ﹣k)>0恒成立,则f(t 2 ﹣2t)>﹣f(2t 2 ﹣k)。又f(x)是R上的奇函数,所以f(t 2 ﹣2t)>f(k﹣2t 2)。又f(x)是R上的减函数,所以t 2 ﹣2t﹣2t 2 对t∈[1,2]恒成立。即3t 2 ﹣2t对t∈[1,2]恒成立。方法一:∴k>(3t 2 ﹣2t)max,t∈[1,2],设时,g(t)是t的增函数,所以g(t)max=g(2)=8,所以k>8。方法二:g(t)=3t 2 ﹣2t﹣k,要使3t 2 ﹣2t﹣k对t∈[1,2]恒成立,只需即可所以所以k>8。综上:存在实数k∈(8,+∞)时,对于任意t∈[1,2]。
已知定义域为R的函数 (Ⅰ);(Ⅱ)在R上为减函数,证明详见解析;(Ⅲ).试题分析:(Ⅰ)思路一、由 可求得a的值;思路二、由于 是R上的奇函数,所以,由此也可求得a的值.(Ⅱ)思路一:根据函数单调性的定义证明;思路二:利用导数证明.(Ⅲ)因 是奇函数,从而不等式 等价于在R上为减函数,由上式得:解此不等式即可.试题解析:(I)法一、函数 的定义域为R,因为 是奇函数,所以,即,故.法二、由 是R上的奇函数,所以,故.再由,通过验证 来确定 的合理性 4分(Ⅱ)由(1)知由上式易知 在R上为减函数.证明:法一、由(1)知设,则,所以,所以 在R上为减函数.8分法二、由(1)知求导得:,所以 在R上为减函数.8分(Ⅲ)又因 是奇函数,从而不等式 等价于在R上为减函数,由上式得:即对一切从而 12分
已知定义域为R的函数
已知定义域在R上的单调函数 先算出f(x)的表达式f(x1+x2)=f(1)+f(x1)+f(x2)令x2=1f(x+1)=2+f(x)那f(x)=2n-1an=1/(2n-1)bn=2*1/2^n=1/2^(n-1)接下来就没什么压力了tn=1/2^1+1/2^3.+1/2^(2n-1)同乘个(1-1/4)除以3/4就好了变为(1/2-1/2^(2n+1))*4/3
1。已知定义域在R上的函数f(x)对任意实数x,y,恒有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)则令y=0,有f(x+0)+f(x-0)=2f(x)f(0)=2f(x)f(0)≠0,应该是f(0)=1(漏写了吧)令x=0,y=x有:f(0+x)+f(0-x)=f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)=2f(x)f(x)=f(-x)f(x)是偶函数2.令 y=x,则f(x+x)+f(x-x)=f(2x)+f(0)=f(2x)+12f(x)f(y)=2f(x)f(x)=2f^2(x)f(2x)=2f^2(x)-13.若存在正数a,使f(a)=03.1 对于任意实数xf(x)+f(x+2a)=f(x+a-a)+f(x+a+a)=2f(x+a)f(a)=03.2 f(x+3a+a)+f(x+3a-a)=f(x+4a)+f(x+2a)=2f(x+3a)f(a)=0f(x+2a)+f(x)=0f(x+4a)+f(x+2a)=f(x+2a)+f(x)=0即,f(x+4a)=f(x)所以,f(x)是以4a为周期的周期函数
已知定义域为R的函数 (1)由题设,需f(0)=?1+a2=0,∴a=1,∴f(x)=1?2x1+2x,经验证,f(x)为奇函数,∴a=1.(2)减函数证明:任取x1,x2∈R,x1,△x=x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=1?2x21+2x2-1?2x11+2x1=2(2x1?2x2).