（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AB=4，AA 1 ，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE （1）平面A 1 DE⊥平面ACC 1 A 1。(2)正弦值为。（1）证明：由正三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 的性质知AA 1⊥平面ABC。又DE 平面ABC，所以DE⊥AA 1。而DE⊥A 1 E，AA 1 A 1 E=A 1，所以DE⊥平面ACC 1 A 1。又DE 平面A 1 DE，故平面A 1 DE⊥平面ACC 1 A 1。(2)解：过点A作AF⊥A 1 E=F，连结DF。由（1）知，平面A 1 DE⊥平面ACC 1 A 1，所以AF⊥平面A 1 DE。故∠ADF即直线AD和平面A 1 DE所成的角。因为DE⊥ACC 1 A 1，所以DE⊥AC。而ΔABC是边长为4的正三角形，于是又因为AA 1=，所以A 1 E=，即直线AD和平面A 1 DE所成角的正弦值为。
如图，在正三棱柱ABC—A (1)；(2)存在点，.试题分析：(1)可建立空间直角坐标系，利用向量线面角公式得(2)可以先假设存在点D，然后利用向量的二面角公式计算.试题解析：如图，以 中点为原点建立空间直角坐标系，可得.(1)所以，平面 的一个法向量所以，所以直线 与平面 所成角的正弦值为.6分(2)假设存在满足条件的点，设AD=，则，设平面 的法向量，因为，且所以 所以平面 的一个法向量又因为平面 的一个法向量所以解得，因为，此时，所以存在点，使得二面角B 1—DC—C 1 的大小为60°.12分
（2009？湖南）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AA1=7，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E．（1） （1）如图所示，由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1又DE？平面A1B1C1，所以DE⊥AA1．而DE⊥AE．AA1∩AE=A，所以DE⊥平面ACC1A1，又DE？平面A1DE，故平面A1DE⊥平面ACC1A1．（2）过点A做AF垂直A1E于F，连接DF，由（1）知：平面A1DE⊥平面ACC1A1．所以AF⊥平面A1DE，则∠ADF即为直线AD和平面A1DE所成角，因为DE⊥平面ACC1A1．所以DE⊥AC，而△ABC是边长为4的正三角形，所以AD=23，AE=4-CE=4-12CD=3，又因为AA1=7，所以A1E=AA12+AE2=(7)2+32=4，AF=AE？AA1A1E=374，所以sin∠ADF=AFAD=218，故直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为218
如图：D、E分别是正三棱柱ABC-A1B1C1的棱AA1、B1C1的中点，且棱AA1=8，AB=4，（1）求证：A1E∥平面BDC1． 解答：（1）证明：在线段BC1上取中点F，连接EF、DF，E是 B1C1的中点，∴EF是△C1B1B的中位线．则由题意得EF∥DA1，且EF=DA1，四边形EFDA1是平行四边形A1E∥FD，又A1E？平面BDC1，FD？平面BDC1A1E∥平面BDC1（2）解：E是正△A1B1C1的边B1C1的中点，A1E⊥B1C1由正棱锥的性质，面A1B1C1⊥面CC1B1B，且面A1B1C1∩面CC1B1B=B1C1，A1E⊥面CC1B1B，由（1）A1E∥FD，FD⊥面CC1B1B，BF是BD在平面CC1B1B上的射影，∠DBF是BD与平面CC1B1B所成 的角．DF=A1E=A1B12？B1E2=16？4=23．在RT△DAB中，DB=DA2+AB2=42+42=42．在RT△DFB中，sin∠DBF=DFDB=2342＝64．
如图，在正三棱柱 如图，以中点为原点建立空间直角坐标系，可得.（Ⅰ）所以，平面的一个法向量 所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.（Ⅱ）假设存在满足条件的点，设AD=，则，设平面的法向量.
如图，在三棱柱ABC-A
如图，在正三棱柱Av六-A （1）VA141C1？A4C＝二8＝14×22×2＝21．（1分）（2）令E为A1C18点，连41E，则41E⊥面ACC1A1．再连AE，得∠41AE为A41与面ACC1A所成角．（0分）在Rt△A41E8，41E＝1，A41＝22，∴二ic∠41AE＝122＝04．故直线A41与平.
如图，已知正三棱柱ABC-A
