如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF 解：（1）∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等，DE+EF+FD=PD+OE+PF又∵截面DEF∥底面ABC，DE=EF=FD=PD=OE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°，P-ABC是正四面体。（2）取BC的中点M，连接PM，DM，AMBC⊥PM，BC⊥AM，BC⊥平面PAM，BC⊥DM，则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角由（1）知，P-ABC的各棱长均为1，PM=AM=，由D是PA的中点，得sin∠DMA=，DMA=arcsin。（3）存在满足条件的直平行六面体棱台DEF-ABC的棱长和为定值6，体积为V设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为α，则该六面体棱长和为6，体积为 sinα=V正四面体P-ABC的体积是，0，0可知α=arcsim（8V）故构造棱长均为，底面相邻两边夹角为arcsim（8V）的直平行六面体即满足要求。
正三棱锥P-ABC的底面边长是6，侧棱长为√21，则它的侧面与底面所成的二面角的余弦值是？ 侧面与底面所成的二面角为60度余弦值0.5
正三棱锥P-ABC的底面边长为1，E，F，G，H分别是PA，AC，BC，PB的中点，四边形EFGH的面积为S，则S的取值范 解答：解：∵棱锥P-ABC为底面边长为1的正三棱锥AB⊥PC又∵E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD的中点，EH=FG=12AB=12，EF=HG=12PC则四边形EFGH为一个矩形又∵PC＞33，EF＞36，312，四边形EFGH的面积S的取值范围是（312，+∞），故答案为：（312，+∞）
一个正三棱锥P-ABC，底面边长2，侧面和底面形成的二面角大小为60°，求三棱锥的高 底面为正三角形，作PO⊥底面ABC，连结AO，延长与BC相交于D连结PD，AD=√3BC/2=√3，DO=AD/3=√3/3，根据三垂线定理，PD⊥BC，〈PDA是二面角P-BC-A的平面角，〈PDA=60度，PO/OD=tan60°，PO=（√3/3）*√3=1，三棱锥的高为1.
正三棱锥P-ABC的底面边长为1，E，F，G，H分别是PA，AC，BC，PB的中点，四边形EFGH的面积为S，则S的取值范围是 棱锥P-ABC为底面边长为1的正三棱锥∴AB⊥PC又∵E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD的中点，∴EH=FG=12AB=12，EF=HG=12PC则四边形EFGH为一个矩形又∵PC＞33，∴EF＞36，312，∴四边形EFGH的面积S的取值范围是（312，.
正三棱锥P-ABC，底面边长为6，侧棱长为5，求它的表面积和体积 解：设P在底面ABC中的射影为O，连接AO，并延长与BC交于D，连接PD，则PD⊥BC，正三棱锥P-ABC，底面边长为6，侧棱长为5，OD=3，PD=4，PO=13，正三棱锥的表面积为34×62+3×12×6×4=93+12；体积13×34×62×13=339．
一个正三棱锥P-ABC的底面边长和高都是4，E、F分别为BC、PA的中点，则EF的长为___． 一个正三棱锥P-ABC的底面边长和高都是4，正三棱锥的对棱互相垂直，取PC中点M，连结ME、FM，FM∥AC，ME∥PB，AC⊥PB，∴ME⊥FM，EFM是RT△，若高是4，PB=8√3/3，ME=433 FM=2，根据勾股定理，EF=2213，故答案为：2213，
求教一道高中几何题。 在正三棱锥P-ABC中，过B做PA的垂线，D是垂足。连接CD。根据全等三角形的性质得知AD=CD，并且PB⊥AD；PB⊥CD，因此∠ADC是二面角A-PB-C的平面角。所以∠ADC=120度。。
已知正三棱锥P-ABC的侧棱长为2，底面边长为1 解：设EF=x，FG=y，BF=a，FC=b（请在图上标注出来）因为AC/EF=BC/BF，BP/FG=BC/FC即1/EF=(a+b)/a，2/FG=(a+b)/b或1/FG=(a+b)/2b所以1/EF+1/FG=(a+b)/a+(a+b)/2b=1+b/a+a/2b+1/23/2+b/a+a/2b≥下(b/a)(a/2b)3/2+根号2所以1/EF+1/FG的最小值为3/2+根号2
