求半径为R的球的内接正三棱锥的体积的最大值。 设球的内接正三棱锥为P—ABC，则P、A、B、C都在球面上，由对称性可知棱锥的高PD经过球心O，设正三棱锥的底面边长为a，高PO=h.则 AD=2/3*√3/2a=√3/3a 延长PD交球于E，则∠PAE=90°，AD⊥PE.由AD2=PD？DE得1/3a2=h(2R.
球的半径为R，求球内接正三棱锥的体积的最大值 解：设正三棱锥S-ABC内切于球，球心为O若正△ABC的一中线为AD，重心为G，则高SG经过点O，又设正三棱锥的棱长为12a，则AB=BC=SA=12a可求得：BD=6a，AD=6（根号3）aAG=4（根号3）a，SG=4（根号6）a球半径OG=R，∴OS=4（根号6）a-ROA=OS，∴OA=4（根号6）a-R在Rt△OAG中，∵OA2=OG2+AG2[4（根号6）a-R]2=R2+[4（根号3）a]2a=（根号6）R/6正三棱锥S-ABC的体积VABC的面积乘以高SG除以3（BC×AD×SG）/6[12a×6（根号3）a×4（根号6）a]÷6144（根号2）a38（根号3）R3
在球体里面内接一个正四面体（正三棱锥），正四面体的棱长是 根号2 球体的体积是多少 棱长为根号2的正四面体g-bde，其各棱为4个正方形的对角线，则正方体棱长为1，正四面体外接球就是正方体的外接球，它为对角线的一半，2r=√3，r=√3/2。设正四面体边长为a，则正三角形高为√3a/2，外（内、重）心距顶点为（2/3）*√3a/2=√3a/3，高为√[a^2-(√3a/3)^2]=√6a/3，v正四面体=(a*√3a/2/2)*(√6a/3)/3=√2a^3/12，a=√2，代入，v正四面体=1/3。简单计算，正方体体积-4*三棱锥体积a^3-4*a^3/6=a^3/3=1/3.
数学问题：已知球的半径为R，求球内接正三棱锥的体积的最大值？ 设球的内接正三棱锥为P—ABC，则P、A、B、C都在球面上，由对称性可知棱锥的高PD经过球心O，设正三棱锥的底面边长为a，高PO=h.则AD=2/3*√3/2a=√3/3a延长PD交球于E，则∠PAE=90°，AD⊥PE.由AD2=PD？DE得1/3a2=h(2R－h)∴a2=3h(2R－h)V=1/3S⊿ABC*h=1/3*√3/4a^2h=1/3*√3/4*3h^2(2R-h)=√3/4h^2(2R-h)3/8[h*h(4r-h)]≤3/8*(4R/3)^3=8√3/27R^3当且仅当h=4R－2h 即h=4/3R时上式等号成立.故当正三棱锥的高为4/3R时，有最大体积8√3/27R^3
数学问题 令三棱柱底面棱长为a，高为h，则 a/(15-h)=12/15=0.8，又侧面积=3ah=120，两式联立，h=10或5.当h=10时，V=√3/4×a2·h=√3/4×42×10=40√3，当h=5时，V=√3/4×a2·h=。
在半径为15的球内有一个底面边长为 或 如图设球的球心为O，内接正三棱锥为E-BCD，则三角形BCD为正三角形，边长BC=，外接圆半径AC=12球的半径OC=OE=15（1）若E、A分别在球心O的两侧（如图1），则在Rt△OAC中，OA=9∴正三棱锥为E-BCD的高EA=OE+OA=15+.
正三棱锥外接球和内接球半径求法 对于内切球半径R四个面的面积*R=三棱锥体积对于外切球半径r四个顶点与圆心的连线为r解三角形 底面圆心距底面三角形顶点的距离为3分之二次根号下3，顶点距底面三角形圆心的距离为3分之二次根号下11，球心到底面三角形圆心的距离为二次根号下（R2-1/3），则有二次根号下（R2-1/3）+R=分之二次根号下11.
