是否所有可数集合的测度都为0？ “古典概型”（概率空间里的P也是测度啊） Yves S 8 人赞同了该回答 本来看到这个问题的时候同时看到了 stealther01 的回答，自己就不想答了。但是接着看下去发现这个完全。
狄利克雷 勒贝格积分 高维空间中低维点集的测度及低维点集上的积分理论。20世纪初测度论的建立，使得人们对Rn中的子集关于n维勒贝格测度μn的行为有了很好的了解。大部分函数论由于勒贝格积分论而产生了巨大变化。但是在处理与Rn中低维点集有关的数学问题时遇到了困难。例如著名的普拉托问题，在二维曲面时尚可以结合共形变换和狄利克雷原理巧妙地应用勒贝格方法而解决。而在曲面的维数超出2时，这些经典的方法就失败了。几何测度论正是在这种背景下产生。它始于1914年C.卡拉西奥多里关于测度论的基础性工作，经过几十年的发展，熔合了来自分析、几何、代数拓扑中的许多技巧，产生了许多新的概念，成为数学研究的一个有力工具。豪斯多夫测度与可求积集合 在卡拉西奥多里的工作出现以后的开始20～30年内，大部分的兴趣在于了解Rn中的子集关于m 维豪斯多夫测度，积分几何测度等各类测度的行为。对于A嶅Rn，0≤k<；∞，δ>；0，定义A的k维豪斯多夫测度（简称hk测度）为式中。hk测度是Rn中的一个博雷尔正则测度。又定义inf{k：hk(A)=0}为A的豪斯多夫维数，简称h 维数。当k=n时，hn(A)=μn(A)，n=0时h0(A)为A的元素个数。0和n中间每个数均可出现为Rn中某个子集的h 维数。例如康托尔集的h 维数为ln2/ln3。。
勒贝格测度的历史 勒贝格在1901年描述勒他的测度，随后在第二年他描述了勒贝格积分。二者都是作为他在1902年的博士论文的一部分发表的。
的勒贝格测度的主要特点是什么？ 以可加的局部紧拓扑群R(∞，∞）为例，经典的勒贝格测度的主要特点是：①R中任一紧集的勒贝格测度必为有限；②R中任何可测集的勒贝格测度关于右（或左）平移是不变的
全体有理数的集合的勒贝格测度与区间[0，1]的勒贝格测度哪个大 全体有理数的集合的勒贝格测度是：0区间[0，1]的勒贝格测度是：1所以区间[0，1]的勒贝格测度大
勒贝格测度的关系 在所定义的集合上，博雷尔测度与勒贝格测度是一致的；然而，仍然有更多勒贝格可测的集合不是博雷尔可测的。博雷尔测度是平移不变的，但不是完备的。哈尔测度可以定义在任何局部紧群上，是勒贝格测度的一个推广（带有加法的R是一个局部紧群）。豪斯多夫测度（参见豪斯多夫维数）是勒贝格测度的一个推广，对于测量R的维数比n低的子集是很有用的，例如R内的曲线或曲面，以及分形集合。不能把豪斯多夫测度与豪斯多夫维数的概念混淆。可以证明，在无穷维空间不存在勒贝格测度的类似物。
勒贝格测度的例子 如果A是一个区间[a，b]，那么其勒贝格测度是区间长度b？a。开区间(a，b)的长度与闭区间一样，因为两集合的差是零测集。如果A是区间[a，b]和[c，d]的笛卡尔积，则它是一个长方形，测度为它的面积(b？a)(d？c)。康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。
勒贝格测度的性质 R上的勒贝格测度有如下的性质如果A表示的是区间I1×I2×.×In的笛卡尔积，那么A是勒贝格可测的，并且 其中|I|表示区间I的长度。如果A是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集的并，那么A也是勒贝格可测的，并且λ(A)就是这些可测集的测度的和（或无穷级数的和）。如果A勒贝格可测的，那么它的补集（相对于R）也是可测的。对于每个勒贝格可测集A，λ(A)≥0。如果A与B是勒贝格可测的，且A是B的子集，那么λ(A)≤λ(B)。(由 2，3 及 4可得。可数多个是勒贝格可测集的交或者并仍然是勒贝格可测的。(由2，3 可得)。如果A是一个开集或闭集，且是R(甚至Borel集，见度量空间，待补)的子集，那么A是勒贝格可测的。如果A是一个勒贝格可测集，并有 λ(A)=0，则A的任何一个子集B的勒贝格测度λ(B)=0。如果A是勒贝格可测的，x是R中的一个元素，A关于x的平移（定义为A+x={a+x：a∈A}）也是勒贝格可测的，并且测度等于A.如果A是勒贝格可测的，δ>；0，则A关于δ的扩张（定义为）也是勒贝格可测的，其测度为。更广泛地说，设T是一个线性变换，A是一个R的勒贝格可测子集，则T(A)也是勒贝格可测的，其测度为。如果A是R的勒贝格可测子集，f是一个A到R上的连续单射函数，则f(A)也是勒贝格可测的。。
