正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长a点M在边BC上ΔAMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形 缺少高的条件，我增加正三棱柱高=√2a/2的条件。1、AC1^2=AC^2+CC1^2，AC1=√[a^2+(a√2/2)^2]=√6a/2，AMC1是等腰直角△，MC1=AM=√2/2*AC1=√3a/2，而边长为a的正三角形其高就是√3a/2，故M是BC的中点。2、C点至平面AMC1的距离d，可看成是底而AMC1，顶点是C的三棱锥C-AMC1的高，VC1-AMC=（√3/4）*a^2/2*(√2a/2)/3=√6a^3/48，体积是一半正三角形面积乘以棱柱高的1/3，S△ANC1=AM*MC1/2=(3a^2/8)VC-ABC1=S△ANC1*d/3=a^2/8*d，a^2/8*d=√6a^3/48d=√6a/6.点C到平面AMC1的距离是√6a/6。
(1)连接A1B，AB1因为正三棱柱ABC-A1B1C1所以，AA1BB1是矩形所以A1B与AB1的交点是矩形中点，是AB1，A1B中点，设为M又因为D为A1C1中点所以DC/B1C因为DC在面A1C1B内，所以BC1/面AB1D(2)连接DB1因为正三棱锥，所以正三角形A1B1C1又因为D为A1C1中点所以DB1是高所以DB1垂直A1C1又因为AA1垂直面A1C1B1，DB1在面A1B1C1内所以DB垂直AA1因为AA1交A1C1=A1所以DB 垂直面AA1C1因为DB1在面ADB1内所以面AB1D⊥面AA1C1C 所以
在正三棱柱中ABC-A1B1C1中，点D是BC的中点，AB=a， (1)连接A1B、A1C由正三棱柱中ABC-A1B1C1易得A1B=A1C`.`D为BC中点`.在△ABC中A1D⊥BC又B1C1∥BC`.A1D⊥B1C1(2)过D做DO⊥AC于O`.`正三棱柱中ABC-A1B1C1`.CC1⊥底面ABC`.CC1⊥ODAC∩CC1=C`.OD⊥面ACC1，OD即为所求在△ADC中AC*OD=AD*DC(同一△面积相等）a*OD=根号3*a*a/2OD=(根号3*a)/2d=(根号3*a)/2
（2014？盐城一模）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．（1）求证：BF∥平面A1EC； 证明：（1）连接A1C与AC1交于点O，连接OF，F为AC的中点，OF∥C1C且OF=12C1C，E为BB1的中点，BE∥C1C且BE=12C1C，BE∥OF且BE=OF，四边形BEOF是平行四边形，BF∥OE，BF？平面A1EC，OE？平面A1EC，BF∥平面A1EC（2）∵AB=CB，F为AC的中点，BF⊥AC由（1）知BF∥OE，OE⊥AC，AA1⊥底面ABC，BF？底面ABC，AA1⊥BF，BF∥OE，OE⊥AA1，AA1∩AC=A，OE⊥平面A1ECOE？面A1EC，平面A1EC⊥平面AA1C1C．
如图，正三棱柱ABC-A 证明：（1）∵棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱∴CC1⊥平面ABC，又∵AD？平面ABC，∴CC1⊥AD又∵正三角形ABC中，D是BC的中点．∴AD⊥BC∵BC∩CC1=C，∴AD⊥面BCC1B1．（2）连结A1B，交AB1于E，连接DE，∵D为BC的中点，E是A1.
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E，F分别是BC，AC1，BB1的中点. 证明：（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，∴AD⊥BC又CC1⊥AD，∴AD⊥平面BCC1B1；又∵AD？？平面AC1D平面AC1D⊥平面BCC1B1；（2）取A1C1的中点G，连接EG、B1G，E、F分别是AC1、BB1的中点，EG平行且等于AA1平行且等于B1F四边形EFB1G为平行四边形，EF∥B1G又B1G？？平面A1B1C1，∴EF∥平面A1B1C1．
正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC中点，求证面BEC1垂直面ACC1A1，求证AB1平行面BEC1， 若AA1/AB=根2/2，求二面角E-BC1-C的大小 AF∩B1F=F，∴面AB1F∥面BEC1，AB1在 面AB1F内，∴AB1∥面BEC1(3)设AB=2，则AA1=√2，可得EC1=EB=√3，M为BC1的中点，则 EM⊥BC1，做MN⊥BC1交BC于N，可得MN=EN=√3/2，CN=1/2.EM=√6。
如图，在正三棱柱ABC-A 证明：（1）因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，又AD？平面ABC，所以C1C⊥AD，又点D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，所以AD⊥BC，因为BC∩C1C=C，所以AD⊥平面BCC1B1，又因为DC1？平面BCC1B1，所以AD⊥C1D；（6分）（2）连接A1C交AC1于点E，再连接DE．因为四边形A1ACC1为矩形，所以E为A1C的中点，又因为D为BC的中点，所以ED∥A1B．又A1B？平面ADC1，ED？平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．（14分）
已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为4高为3求它的侧面积。全面积。体积 答：底面边长为4，高为3底面面积S1=4×4×sin60°÷2=4√3侧面积S=4×3×3=36全面积S=36+4√3×2=8√3+36体积V=4√3×3=12√3
