微积分在各个阶段的代表人物 牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟、欧拉、柯西、黎曼、刘维尔、魏尔斯特拉斯、康托尔、沃尔泰拉、贝尔、勒贝格第1章 牛顿广义二项展开式逆级数《分析学》中求面积的法则牛顿的正弦级数推导参考文献第2章 莱布尼茨变换定理莱布尼茨级数参考文献第3章 伯努利兄弟雅各布和调和级数雅各布和他的垛积级数约翰和xx参考文献第4章 欧拉欧拉的一个微分欧拉的一个积分π的欧拉估值引人注目的求和伽玛函数参考文献第5章 第一次波折参考文献第6章 柯西极限、连续性和导数介值定理中值定理积分和微积分基本定理两个收敛判别法参考文献第7章 黎曼狄利克雷函数黎曼积分黎曼病态函数黎曼重排定理参考文献第8章 刘维尔代数数与超越数刘维尔不等式刘维尔超越数参考文献第9章 魏尔斯特拉斯回到基本问题四个重要定理魏尔斯特拉斯病态函数参考文献第10章 第二次波折参考文献第11章 康托尔实数的完备性区间的不可数性再论超越数的存在参考文献第12章 沃尔泰拉沃尔泰拉病态函数汉克尔的函数分类病态函数的限度参考文献第13章 贝尔无处稠密集贝尔分类定理若干应用贝尔的函数分类参考文献第14章 勒贝格回归黎曼积分零测度。
为什么微积分从被发明到严谨化用了将近 200 年这么久？ 建议题主去读一读《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》这本书，介绍微积分的严谨化，公理集合论的建立，以及…
函数的导数一定可积吗 不一定。因为可以构造在闭区间上不连续点正测度的函数。可以在测度为正Fat Cantor Set挖去的每一个闭区间上构造在两端导数不连续的函数。尽管构造较为复杂，但结果的确是否定的。
沃尔泰拉关于可微函数的导数不可积的例子是什么？ 举例：把f_0(x)=x^2sin(1/x)在某个Smith–Volterra–Cantor型集合(记作S)上无穷次复制，得到一个在[0，1]可导，导数在S上的任何一个点都不连续的函数f：[0，1]->；R（S是[0，1]的子集）。S的Lebesgue测度大于0，由Lebesgue的Riemann可积判定准则，f的导数在[0，1]上不Riemann可积。注：令[0，1]区间为I_0。归纳的定义一串{I_n}_(n>；=0)：把I_k每个区间正中间挖掉长1/4^(k+1)的区间，得到(2^(k+1)）个长(2^(k+1)+1)/(2^(2*k+3))的区间，它们的并为I_（k+1)…。设S=∩I_k；则S是S的补的边界，且S补的Lebesgue测度=1/2。
可微函数的导函数却不可积。 由于h'的不连续点的测度不为0，故不可积.
洛特卡-沃尔泰拉方程的方程式的解 此方程式拥有周期性的解，且无法简单地以常用的三角函数表达。不过经过线性近似的过程之后，掠食者与猎物的族群大小变化可以表达成两个简谐运动的图形，差距为90度。生态上的实际大致依照此简单模式，不过详细状况会有所出入。在此模式系统中，当猎物数量充足的时候，掠食者的族群也会兴旺起来。不过掠食者的族群最后仍然会因为超过猎物所能供给的数量而开始衰减。当掠食者的族群族群缩减，则猎物族群将会再次增大。两者的族群大小便以周期性的成长与衰减进行循环。族群的平衡会发生在族群大小不再变化的时候。例如：两条微分方程皆等于零的时候。x(α ？ βy)=0 ？ y(γ ？ δx)=0 求解上述方程式的 x 与 y 可得：由此可知有两组解。第一组解实际上是表示两个物种的灭绝，若是两个族群皆为零，则此状况将永久持续下去。第二组解表示一个不动点，意思是两个族群能够维持一个不为零的数量，并且在简单的模型中能够永久持续。系数 α，β，γ，与 δ，能够决定族群规模将在哪种情况下达成平衡状态。不动点的稳定性可以利用偏导数，将其以线性化方式呈现。产生的掠食者猎物模型之雅可比矩阵如下：第一不动点当数值为(0，0)稳定状态，则雅可比矩阵变成：此矩阵的特征值为。
