如图，圆O是三角形ABC的外接圆，BC为直径，AD平分角BAC，交圆O于D，点M是三角形ABC的内心
如图，AD为三角形ABC外接圆的直径AD⊥BC，垂足为F，∠ABC的平分线交AD于E，连接BD，C 分析：（1）利用等弧对等弦即可证明．（2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD=∠CBD再等量代换得出∠DBE=∠DEB，从而证明DB=DE=DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．解答：证明：（1）∵AD为直径，AD⊥BC，BD^=CD^BD=CD．（2）B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知：BD^=CD^，BAD=∠CBD，又∵BE平分∠ABC，∴CBE=∠ABE，DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，DBE=∠DEB，DB=DE．由（1）知：BD=CDDB=DE=DC．B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上
如图圆o是三角形abc的外接圆，ab为直径，od平行bc交圆o于点d交AC于点E，连AD，BD， 1、证明：OB=OD，道OBD=∠ODB，OD/BC，ODB=∠CBD，专OBD=∠CBD，AD=CD（等角对等弦）。2、解：AB是⊙O的直径，ACB=90°，设BC=x，则AC=4x/3，根据勾股定属理：BC2+AC2=AB2，25x2/9=100x=6，即BC=6，AC=8，AD=CD，弧AD=弧CD，OD垂直平分AC（垂径定理逆定理），AE=CE=4，∠AEO=90°，OA=5，OE=3，DE=OD-OE=5-3=2，DE：AE=2：4=1：2。
如图，圆o是三角形abc的外接圆，ab为直径，角bac的角平分线交圆o与点d，过点d的切线分别交a 向左转|向右转连接OD，因为EF是圆的切线，可知OD⊥EFAOD为等腰三角形，∴2=∠3，AD平分∠CAO，可知∠1=∠2，得出∠1=∠3，内错角相等，可以得出AF∥OD，OD⊥EF，那么AF⊥EF。连接CB，因为AB为直径，∠ACB就等于90°，CB就平行于EF。做BK⊥EF，四边形FCBK就是长方形，∴CF=BK.明显地，△EAF∽△EOD∽△EBK，为了简便，设BE=x，圆半径为R，根据相似三角形比例性质：AF/OD=AF/R=AE/OE=(2R+x)/(R+x)，可知：AF=R*(2R+x)/(R+x)OD/CF=OD/BK=R/CF=(R+x)/x，可知：CF=Rx/(R+x）AF+CF=R*(2R+x)/(R+x)+Rx/(R+x）=2R，即可求证AF+CF=AB。
