指数为3的子群不一定是正规子群 正规子群的正规子群仍是正规子群么？

我们为什么需要正规子群？ 如题，或者说为什么要这么去定义这样一种结构。我已经了解了一些基本的事实，包括定义，推论，初步的一些…证明，指数是2的子群一定是不变子群。 设G是一个群，H是G的一个指数=2的子群.对任意x∈G，若x∈H，显然有xH=Hx.若x∈G\\H，则G=H∪Hx，即G分解成H的两个右陪集之并.因此Hx=G-H.同理G有左陪集分解 G=H∪xH，于是得出xH=G。证明，指数为2的子群是正规子群 指数为2的子群是正规子群的证明如下： 设H，[G：H]=2，对G中任意元a，有两种情况： 1、若a？H，则aH≠H，Ha≠H，故G有陪集分解G=H∪Ha=H∪aH，所以Ha=aH=G-H。。证明，指数是2的子群一定是不变子群. 不妨设该子群为H.H有两个不同的左陪集，由于eH=He=H.因此两个陪集一个为H，另一个为G-H.任取a属于G，1、若a属于H，则aH=Ha=H2、若a属于G-H，则aH=Ha=G-H因此H为正规子群，也就是不变子群求证不存在恰有2个指数为2的子群的群 若H、K是G的两个不同的指数为2的子群，则H、K、（H交K）都是G的正规子群，并且（G/（H交K））/（H/（H交K））=G/H从而G/（H交K）是四阶克莱因群，它有一个不同于H/（H交K）、K/（H交K）的指数为2的子群L.L在自然同态G-.基础代数问题 设G为群 H为G的子群 H在G中指数为2 求证H必为G的正规子群 只要证明Ha=aH即可，其中a不属于H，因为H在G中的指数为2，所以Ha，aH都是G的不同于H的子群，所以必有Ha=aH成立.证毕.近世代数：证明：指数是2的子群必是正规子群 证明：设H，[G：H]=2，对G中任意元a，有两种情况：若a？H，则aH≠H，Ha≠H，故G有陪集分解G=H∪Ha=H∪aH，所以Ha=aH=G-H若a∈H，则显然aH=Ha=H因此，aH=Ha对一切a∈G都成立，即H是正规子群。证毕。指数为2的子群必为正规子群 只要证明Ha＝aH即可，其中a不属于H，因为H在G中的指数为2，所以Ha，aH都是G的不同于H的子群72所以必有Ha＝aH成立lp证毕任一群中，指数为2的子群一定是正规的 设H是G的二阶子群，由指数为2可知对a不属于H，必有G=H并aH=H并Ha，那么aH=Ha，因此H正规正规子群的正规子群仍是正规子群么？ 近世代数 证明 给一个简单说明吧，我觉得不算标准证明，然后给出命题的反例， 设任意一个群G的正规子群是H，H的正规子群是K，记K的正规化子为N(K)，定义如下： 。

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