（2014？重庆模拟）已知在直四棱柱ABCDA 证明：（1）过E作EG∥AD交A1D于G，连接GF．A1EA1A=58，∴EGAD=58，∴EG=10=BF．BF∥AD，EG∥AD，∴BF∥EG．四边形BFGE是平行四边形．BE∥FG．（4分）又FG？平面A1FD，BE？平面A1FD，BE∥平面A1FD．（6分）（2）∵在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，BD？平面ABCD，A1A⊥BD．由已知，BD⊥A1F，AA1∩A1F=A1，BD⊥平面A1AF．BD⊥AF．（8分）梯形ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，在Rt△BAD中，tan∠ABD=ADAB=2．在Rt△ABF中，tan∠BAF=FBAB=BF8．BD⊥AF，∴ABD+∠BAF=π2，BF8=12，BF=4．（10分）在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，∴平面AA1B1B⊥平面ABCD，又平面ABCD∩平面AA1B1B=AB，∠ABF=90°，FB⊥平面AA1B1B，即BF为三棱锥FA1B1A的高．（12分）AA1B1=90°，AA1=BB1=8，A1B1=AB=8，S△AA1B1=32．V三棱锥A1AB1F=V三棱锥FA1B1A=13×S△AA1B1×BF=1283．（14分）
如图，在直四棱柱 （1）略（2）（1）连接FG∵F、G分别为CD、C1D1的中点，∴FGCC1 从而FGBB1∴B、B1、F、G四点共面．连接BF并延长与AD的延长线交于点H．[来源：Z+xx+k.Com]∵F为CD的中点，且BC∥A D．∴△HFD△BFC∴DH＝BC＝3∴EH＝DE+DH＝5．又∵BE＝5，且F为BH的中点．∴EF⊥BF，又∵BB1⊥平面ABCD，且EF平面ABCD内．∴BB1⊥EF∴EF⊥平面BB1GF．从而EF⊥平面BB1G．（2）二面角E－BB1－G的大小等于二面角F－BB1－E的大小∵EF⊥平面FBB1 且EB⊥BB1 FB⊥BB1 即∠EBF为二面角F-－BB1－E的平面角 在△EFB中，EB＝5，EF＝．∴EBF＝∴二面角E－BB1－G的大小为 解法2：以A为坐标原点，AB为x轴，AA1为y轴，AD为Z轴建立空间直角坐标系，则E（0，0，3）、F（2，0，4）、G（2，4，4）、B（4，0，0）、B1（4，4，0）（1）、∵，∴EF⊥BB1，EF⊥B1G∴EF⊥平面BB1G（2）∵EF⊥平面BB1G∴为平面BB1G的一个法向量 设平面EBB1的一个法向量为 则 解得，取∴二面角E－BB1－G的大小为
如图，在直四棱柱ABCDA 点F为AB的中点，存在这样的点F，使平面C 1 CF∥平面ADD 1 A 1，此时点F为AB的中点，证明如下：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，∴四边形AFCD是平行四边形．∴AD∥CF.又AD 平面ADD 1 A 1，CF 平面ADD.
