设f(t)为连续函数，L为分段光滑的闭曲线，证明：∮f(xy)(ydx+xdy)=0 P=x3+y2x，dP/dy=2xyQ=x2y+y3，dQ/dx=2xydP/dy=dQ/dx曲线积分与路径无关。(L)(x2+y2)(xdx+ydy)=0
计算曲线积分 由题意，设P(x，y)=-yx2+4y2，Q(x，y)=xx2+4y2，C所围成的区域为G（1）闭曲线L内部不包含原点时，显然P，Q在L所围区域G连续，并且有连续的偏导数？P？y=？Q？x=-x2+4y2(x2+4y2)2．故由格林公式，有：Lxdy-ydxx2+4y2=∫G(？Q？x-？P？y)dxdy=0．（2）闭曲线L内部包含原点时．作小椭圆域x2+4y2≤r2，其中r为充分小正数，使得椭圆域包含在G内，椭圆周为Γ，Γ取正向，则由格林公式有：∮Lxdy-ydxx2+4y2=∫Γxdy-ydxx2+4y2．再注意到Γ的参数方程为：x=rcosφ，y=12rsinφ，0≤φ≤2π，得Γxdy-ydxx2+4y2=∫2π012rcosφrcosφ-12rsinφ(-rsinφ)r2dφ=π．于是，∮Cxdy-ydxx2+4y2=π．
设对xoy面上任意的简单光滑有向闭曲线L，都有∮ 设P(x，y)＝y(f(x)+ex)+12y2，Q（x，y）=f′（x）-ex+xy由对xoy面上任意的简单光滑有向闭曲线L，都有∮L[y（f（x）+ex）+12y2]dx+[f′（x）-ex+xy]dy=0，知？Q？x＝？P？y，即f″（x）-ex+y=f（x）+ex+yf″（x）-f（x）=2ex…（*）这是二阶非齐次线性微分方程，其中特征方程为：r2-1=0特征根为r1，2=±1对应的二阶齐次线性微分方程的通解为：C1e？x+C2ex，其中C1、C2为常数函数2ex是Pm(x)eλx型，其中Pm（x）=2，λ=1可设特解为：y*=bxex，其中b是待定的常数．将其代入方程（*），解得b=1y*=xex方程（*）的通解为y＝f(x)＝C1e？x+C2ex+xex又已知曲线y=f（x）在x=0处与直线y=2x相切即曲线通过点（0，0），且y′|（0，0）=2C1+C2＝0？C1+C2+1＝2解得C1＝？12，C2＝12f(x)＝？12e？x+12ex+xex．
