如图，反比例函数y= （1）∵反比例函数y=kx（x＞0）上经过点A（4，1），1=k4，k=4，反比例函数的解析式为：y=4x（x＞0）；（2）∵四边形ABCD是菱形，AC、BD互相垂直平分，因此点B的横坐标为：a=2；由于点B在反比例函数的图象上，那么ab=4，即b=2；因此B（2，2）；由于B、D关于直线AC（即y=1）对称，所以D（2，0）．（3）∵四边形ABCD是平行四边形，且面积为12，2×12×AC×|yB-yA|=12，即：4×|yB-1|=12；由于yB＞0，解得yB=4，即B（a，4）；代入反比例函数的解析式中，可得B（1，4），AC中点坐标为（2，1），则D（2×2-1，2×1-4）即（3，-2）；因此对角线AC=4，BD=(3？1)2+(？2？4)2=210；因此平行四边形的对角线可达的最大长度为210．
如图，反比例函数y= 延长AB交x轴于P，此时PA-PB值最大，最大值为AB，PA-PB的最大值为22，AB=22，反比例函数y=kx（x>；0）图象上的两点A、B的横坐标分别为1，3，A（1，k），B（3，k3），AB=(3-1)2+(k3-k)2=22，解得k=3．故答案为3．
如图，反比例函数 （1）由y＝？kxy＝？x+2得x2-2x-k=0，∴△=（-2）2-4（-k）≥0，解得k＞-1，∴k的取值范围为k＞-1且k≠0；（2）把y=3代入y=-x+2得-x+2=3，解得x=-1，∴A点坐标为（-1，3），把A（-1，3）代入y=-kx得-k=-1×3，解得k=.
