正三棱锥A-BCD底面边长a，侧棱长2a，过B作与AC、BD都相交截面BEF，截面周长最小时，求截面面积 将该正三棱锥A-BCD沿AB边展开得五边形ABCDB'，则AB=AC=AD=AB'=2a，BC=BD=DB'=a显然直线BB'与AC、AD相交于E、F两点即为所求的最小周长时的两个点因AB=AC=AD=AB'=2a则BCDB'在以A为圆心2a为半径的圆上设角CAD=x，易得sin(x/2)=1/4，cos(x/2)=√15/4sinx=2(1/4)√15/4=√15/8，cosx=7/8则sin2x=2(√15/8)(7/8)=7√15/32，cos2x=17/32sin(2x-x/2)=sin2xcosx/2-cos2xsinx/2(7√15/32)(√15/4)-(17/32)(1/4)=11/16cos(3x/2)=3√15/16EF=2tan(x/2)[2acos(3x/2)]=2(1/√15)(3a√15/8)=3a/4则BE=B'F=2asin(3x/2)-EF/22a(11/16)-3a/8=a所求的△三边分别为a，a，3a/4cos角EBF=[2a^2-(3a/4)^2]/2a^2=√23/8sin角EBF=√41/8则所求S△BEF=2a^2(√41/8)=a^2(√41/4)
正三棱锥A-BCD，底面边长为2a，侧棱为根号2a，求CD与ABD所成的角 可以证明：这个正三棱锥的侧面都是等腰直角三角形，则：CA垂直平面ABD，从而，角CDA就是直线CD与平面ABD所成的角，这个角是45°
如图，正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱长为2a， 解：设∠BAC=∠BAD=∠CAD=θ，则cosθ=[(2a)^2+(2a)^2-a^2]/[2*(2a)*(2a)]=7/8，将正三棱锥A-BCD沿着棱BA，棱BC和棱BD剪开，展成平面图形ABCDB'，连接BB'，BB'分别交AC、AD于点E和F，易知，∠BB'D=∠B'BC=θ，BB'∥CD，所以BE=B'F=a，BB'=2*(a*cosθ)+a=11a/4，EF=BB'-2a=3a/4，AE=AF=2*EF=3a/2即截面三角形BEF周长的最小值=BB'=11a/4，此时AE=AF=3a/2。
