正则曲面一定是流形吗？ doCarmo的《曲线与曲面的微分几何学》中文版第63页证明了若到曲面上的某个映射满足光滑单射且导数矩阵满…
证明：一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点，则它必定是一条直线 1.设正则曲线 r(t)=(x(t)，y(t)，z(t))各点切线都过一固定点a，则r(t)-a 与 r'(t)平行我们来证明 r(t)其实是过a的一条直线，即 r(t)=a+C(t)(r0-a)其中 r0 即 r(0).我们来证明(r(t)-a)始终互相平行，从而r(t)在一条直线上.首先，由于r(t)-a与r'(t)平行，所以r'(t)=C1(t)(r(t)-a)即 x'(t)=C1(t)(x(t)-a1)y'(t)=C1(t)(y(t)-a2)z'(t)=C1(t)(z(t)-a3)以x为例，x'(t)/(x(t)-a1)=C1(t)，两边积分得ln|x(t)-a1|-ln|x(0)-a1|=C2(t)x(t)=a1+C3(t)(x(0)-a1)同样地解出y，z后得到r(t)=a+C3(t)(r(0)-a).证毕.2.设正则曲线 r(t)每点的法平面都经过b这说明 r(t)-b 垂直于 r'(t).取内积得到得到(|r(t)|^2)'=2
计算曲线积分 由题意，设P(x，y)=-yx2+4y2，Q(x，y)=xx2+4y2，C所围成的区域为G（1）闭曲线L内部不包含原点时，显然P，Q在L所围区域G连续，并且有连续的偏导数？P？y=？Q？x=-x2+4y2(x2+4y2)2．故由格林公式，有：Lxdy-ydxx2+4y2=∫G(？Q？x-？P？y)dxdy=0．（2）闭曲线L内部包含原点时．作小椭圆域x2+4y2≤r2，其中r为充分小正数，使得椭圆域包含在G内，椭圆周为Γ，Γ取正向，则由格林公式有：∮Lxdy-ydxx2+4y2=∫Γxdy-ydxx2+4y2．再注意到Γ的参数方程为：x=rcosφ，y=12rsinφ，0≤φ≤2π，得Γxdy-ydxx2+4y2=∫2π012rcosφrcosφ-12rsinφ(-rsinφ)r2dφ=π．于是，∮Cxdy-ydxx2+4y2=π．
