如图 在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=a，点E在棱PC上，问点E在何处时，PA//平面EBD，并加以证明 PC中点，连接AC交BD于O，正四棱锥，O为AC中点，OE/AP
如图3，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=a，点E为棱PC的中点 1.取BC中点F连接EF EF∥BP 则∠DEF是DE与BP所成角在⊿DEF中 EF=1/2×BP=a/2 DE=√3a/2 DF2=DC2＋FC2=a2＋a2/4=5a2/4cos∠DEF=(DE2+EF2-DF2)/2DE×EF=-√3/62.AC中点O PA中点H 连接OH，BHOH∥PC（∠APC=90o）∴OH⊥APBH⊥APBHO是所求二面角C-PA-BBD⊥面APC∴BO⊥OH⊿BOH是直角三角形OH=a/2 BH=√3a/2COS∠BHO=OH/BH=√3/3二面角C-PA-B的余弦值√3/3
（2014？南京三模）如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB= （本小题满分10分）（1）证明：连接AC，BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴建立空间直角坐标系．PA=AB=2，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，-1，0），P（0，0，1）．BN=13BD，得N（0，13，0），由PM=13PA，得M（13，0，23），MN=(-13，13，-23)，AD=(-1，-1，0)，MN？AD=0，∴MN⊥AD．（2）∵M在PA上，设PM=λPA，得M（λ，0，1-λ），BM=(λ，-1，1-λ)，BD=(0，-2，0)，设平面MBD的法向量n=(x，y，z)，由n？BD=0n？BM=0，得-2y=0λx-y+(1-λ)z=0，取z=λ，得n=(λ-1，0，λ)，平面ABD的法向量为OP=(0，0，1)，二面角M-BD-A的大小为π4，cosπ4=|n？OP|n|OP|即22=λ(λ-1)2+λ2，解得λ=12，M（12，0，12），N（0，13，0），MN|=(12-0)2+(0-13)2+(12-0)2=226．
