微分几何学的微分几何和分析学新的结合 微分几何的研究与发展离不开微分方程，达布的《曲面论》一书就包含了丰富的古典微分方程的内容。é.嘉当和凯勒所发展的外微分方程理论，对于解析函数领域的一大类局部微分几何问题，给出了一般的有效的方法。整体微分几何的发展，需要运用更深入的，现代化的分析工具，特别是偏微分方程理论以及与之有关的非线性分析。在线性理论中，一个突出的成果是阿蒂亚和辛格的指标定理，紧致微分流形上的一个线性椭圆算子的零空间的维数与象空间的维数都是有限数，其差称为指标，这个定理指出，这种指标可以表示为和流形（或纤维丛）及椭圆算子有关的拓扑不变量，而过去的黎曼-罗赫定理，希策布鲁赫的指标定理等都是它的特殊情形。这个定理对于确定杨-米尔斯方程的解的存在性和其自由度，起了重要作用。此外，流形上的拉普拉斯算子的特征值的研究也是一个重要方面。微分几何学所遇到的偏微分方程大多是非线性的，调和函数的概念被推广成黎曼流形间的调和映射，它联系于一个推广的狄利克雷积分的变分问题，其欧拉方程是非线性的椭圆型方程组，J.伊尔斯等人用了多种分析的技巧证明了各种存在性和不存在性定理，近年来，R.舍恩和K.K.乌伦贝克又对广义解的奇性作了深入的分析。极小曲面理论近年来。
谷超豪的主要成就 谷超豪生前共培养30多名博士、硕士研究生，其中有陈恕行教授在内、涉及多个研究分支的一支充满活力、高水平的研究队伍，多位在数学界崭露头角，成为中国数学界的骨干，直接指导的博士生中有2篇论文获得全国优秀博士论文奖。此外，如李大潜、洪家兴、穆穆等中国科学院院士6人、中国工程院院士3人都是谷超豪的学生。谷超豪共发表数学论文130篇（其中独立发表100篇），在国际著名出版社Springer合作出版专著两部。论文：《隐函数表示下的 K 展空间》、《拟线性双曲型方程组的不连续初始值问题》、《双曲型方程组的一个边界问题和它的应用》（《数学学报》，1963）、《一类多自变数的混合型偏微分方程》（《中国科学》，1965）、《规范场理论若干问题》著作：《三十年来的苏联数学1917–1947：几何学》，科学出版社《高等数学教程》第4卷第2分册，人民教育出版社《最大值和最小值》（中学生课外读物），上海教育出版社《齐性空间微分几何学》，上海科技出版社《经典规范场》《谈谈数学中的无限》（中学生文库），上海教育出版社《孤立子理论与应用》（中文），浙江科技出版社《数学词典》，上海辞书出版社《应用偏微分方程》，高等教育出版社《文章道德仰高风。
