正三棱锥ABC-A1B1C1底面边长a侧棱长√2a，AC1与ABB1A1所成的角正弦值 取A1B1中点D。连结C1D，百AD，A1B1C1是正度△，内C1D⊥A1B1，又平面A1B1C1⊥平面A1B1C1，C1D⊥平面A1B1C1，AD是AC1在平面ABB1A1上的射影，C1D=a√3/2.AC1=√(AC^2+CC1^2)=√3a，sina√3/2/(√3a)1/2，AC1与ABB1A1所成的角正弦值为 1/2，即成角为30度。容
数学证明：正三棱锥ABC-A1B1C1的底边长是2，侧棱长是根号3，D是AC中点 先说明：这是三棱柱，不是三棱锥。（1）：证明：连接AB1∩A1B于E，连DE，∵D，E分别为中点，∴DE/B1C。又∵DE属于面A1BD，B1C不属于面A1BD，∴B1D/面A1BD。（2）：作AH⊥A1D=H，连B1H，∵三棱锥ABC-A1B1C1为证三棱锥，D是中点，∴BD⊥面AC1，又AH属于面A1C，∴AH⊥BD，又AH⊥A1D，A1D∩BD=D，∴AH⊥面A1BD，∴即为所求.AH=1×3/2，AB1=√13=>；AB1H的正弦值为√39/26.
如图，正三棱锥ABC-A （I）如图，以点A为坐标原点，平面ABC为xoy平面，AB方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），B1(a，0，2a)，M（a2，0，2a)，C1(a2，3a2，2a)所以AB=（a，0，0），BB1=(0，0，2a)，MC1＝(0，32a，0)．（5分）因为MC1？AB＝0，MC1？BB1＝0，所以MC1⊥AB，MC1⊥BB1，从而MC1⊥平面ABB1A1．故MC1是平面ABB1A1的一个法向量．（9分）（II）AC1=(a2，3a2，2a)．因为MC1？AC1=(0，32a，0)？(a2，3a2，2a)＝34a2，又因为|MC1|=32a，AC1|＝3a，所以cos＜MC1，AC1＞＝12，即＜MC1，AC1＞＝60°．（13分）故AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°．（14分）
