定积分求光滑曲线的弧长中这一步怎么来的？ 见图
设光滑曲线y=k(x)过原点，且当x>0时，k(x)>0.对应于[0，x]一段曲线的弧长为(e^x)-1，求k(x). 设光滑曲线y=k(x)过原点，且当x>；0时，k(x)>；0.对应于[0，x]一段曲线的弧长为(e^x)-1，求k(x).解：把曲线上一段微弧看成一段直线，则其弧长dS2=dx2+dy2，故ds=√(dx2+dy2)=√(1+y′2)dx已知[0，x]∫ds=S=[0，x]∫(1+y′2)dx=e^x-1等式两边对x取导数得√(1+y′2)=e^x，故1+y′2=e^(2x)，y′2=e^(2x)-1，y′=√[e^(2x)-1]；故y=∫[e^(2x)-1]dx令e^x=secu，则(e^x)dx=secutanudu，故dx=tanudu，代入上式得：y=K(x)=∫[e^(2x)-1]dx=∫[√(sec2u-1)]tanudu=∫tan2udu=tanu-u+C={√[e^(2x)-1]}-arcsec(e^x)+C
设L为光滑弧段，其弧长为L，函数P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在曲线上连续， 首先根据两类曲线积分的关系，有|∫Pdx+Qdy+Zdz|=|∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds|根据曲线积分的性质，∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds|≤|(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)|ds≤|(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)|*L≤|P+Q+R|L=[(P^2+Q^2+R^2)^(1/2)]L，因此原积分≤LM
