如图，在正四棱台ABCD-A 18．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连接A1C1，AC，分别交B1D1，EF，BD于M，N，P，连接MN，C1P由题意，BD∥B1D1因为BD？平面EFB1D1，B1D1？平面EFB1D1，所以BD∥平面EFB1D1…（3分）又因为A1B1=a，AB=2a，所以MC1=12A1C1=22a又因为E、F分别是AD、AB的中点，所以NP=14AC=22a所以MC1=NP又因为AC∥A1C1，所以MC1∥NP所以四边形MC1PN为平行四边形所以PC1∥MN因为PC1？平面EFB1D1，MN？平面EFB1D1，所以PC1∥平面EFB1D1因为PC1∩BD=P，所以平面EFB1D1∥平面BDC1…（6分）（Ⅱ）连接A1P，因为A1C1∥PC，A1C1=PC=2a，所以四边形A1C1CP为平行四边形因为CC1=AA1=PC=2a，所以四边形A1C1CP为菱形所以A1C⊥PC1…（9分）因为MP⊥平面ABCD，MP？平面A1C1CA所以平面A1C1CA⊥平面ABCD，因为BD⊥AC，所以BD⊥平面A1C1CA因为A1C？平面A1C1CA，所以BD⊥A1C因为PC1∩BD=P，所以A1C⊥平面BDC1．（12分）
如图所示，正四棱台ABCD-A 解（1）由已知，正四棱台上底面积S1=1，下底面积S=4，高h=2，V＝13(S+S1+S？S1)h＝143…4（2）设正四棱锥S-ABCD高为x，则四棱锥S-A1B1C1D1高为x-2，由x？2x＝A1B1AB＝12，解得x=4，…7VS？ABCD＝13SABCD？x＝163…9（3）连结AC交BD于O，连结OC1，∵ABCD为正方形，O为AC中点，…10又∵SC1SC＝B1C1BC＝12C1为SC的中点，…12则OC1为△ASC的中位线，OC1∥AA1，…13而OC1？平面BDC1，AA1？平面BDC1，AA1∥平面BDC1…14
如何画正四棱台的直观图 1、绘制出平行四边形2113ABCD以及对角5261线AC和BD，线段AC、BD的交点设4102置为O。如下图所示。2、任意绘1653制一条线段DE。依次选中点D、E设置为“标记向量”。将点O按照标记向量的方向平移，得到点O’。绘制线段AO’、BO’、CO’、DO’、OO’。将线段OO’、DO’、AD、CD、AC、BD设置为虚线。3、在线段DE上任取一点F，依次选中点E、D、F，选择“变换”—“标记比”命令。双击点O’，将点O’作为中心。分别选中点A、B、C、D，选择“变换”—“缩放”命令，得到点A’、B’、C’、D’。绘制线段A’B’、B’C’、C’D’、D’A’。如下图所示。4、隐藏多余对象。选中线段AO’、BO’、CO’、DO’、OO’、DE和点O’、E，选择“显示”—“隐藏对象”命令。绘制线段AA’、BB’、CC’、DD’。将DD’设置为虚线。这样正四棱台就绘制完成了，当我们调节点F的位置时，可以观察到四棱台也在发生变化。如下图所示。
