如图，在正三棱柱ABC-A （I）证明：连接AC1交A1C于点G，连接DG，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形ACC1A1是平行四边形，∴AC=GC1，∵AD=DB，∴DG∥BC1（2分）∵DG？平面A1DC，BC1？平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC．（4分）（II）过点D作DE⊥AC交A.
在正三棱柱ABC-A 把A1B1C1平面立起来变为A1B1C2，和AA1B1B放在同一平面内，由两点间线段最短，得AE+EC1的最小值为AC2，从C2向AB做一条垂线，交A1B1于D，交AB于F，AA1=2，AB=3，解得C2D=32，则C2F=72，AC2=13，AE+EC1的最小值为13．故答案为：13．
在正三棱柱ABC-A 如图所示，过B作BF⊥AC，过B1作B1E⊥A1C1，连接EF，过D作DG⊥EF，连接AG，在正三棱柱中，有B1E⊥AA1C1C，BF⊥面AA1C1C，故DG⊥面AA1C1C，∴DAG=α，可求得DG=BF=32，AG=AF2+FG2=52，故tanα=DGAG=155.
