曲线长度公式推导 对于一2113条连续的、光滑的曲线，根据定5261积分的几何意义，很容4102易计算曲线与x轴所围1653成的区域的面积，但如何计算曲线的长度呢？1.直角坐标曲线曲线f(x)为一条在区间[a，b]上连续且光滑的曲线，如图1所示。在求曲线的长度前，解释一个概念。所谓光滑的函数曲线，意思就是函数在一段区间内存在一阶导数。根据微分的思想，一段曲线的长度可以分割成无数条短曲线的和。现在用n-1个数将区间[a，b]分割成n个子区间。每个子区间的弧长可以近似用图2的式子来表示。则线的总弧长近似等于各个子区间的弧长之和当n趋于无穷时，曲线弧长可以用极限的形式表示，且根据定积分的定义，可以得出曲线弧长与定积分的关系，如图4所示。2.参数曲线用参数形式来描述函数曲线，曲线长度的计算公式。扩展资料：曲线长度计算对于任意的多元函数，在任意的一点有切向量 a，则此条曲线的长度即为，a>；，即a*a；其显性公式为 L(t)=∫(a，b)√(dxi/dt)^2 dt，在一元函数中有 L(t)=∫(f'(x))^2+1 dt参考资料来源：-曲线长计算公式
高数，光滑曲线弧是可求长的，怎么证明 证明：分析，光滑曲线可求长等价于连续函数必可积令：y=f(x)在[a，b](b>；a)上连续，将闭区间[a，b]分割成n个微小区间，即：x0=a≤x1≤x2≤.≤xn=b，考查每个区间[x(i-1)，x(i)]上f(x)的取值f(x)在[x(i-1)，x(i)]连续根据最值定理必然存在：m(i)，M(i)，使得：m(i)≤f(x)≤M(i)，x∈[x(i-1)，x(i)]再令：Δx(i)=x(i)-x(i-1)，于是：m(i)·Δx(i)≤f(x)Δx(i)≤M(i)·Δx(i)，根据介值定理，至少？ξ(i)∈[x(i-1)，x(i)]，使得在微小区间段中：m(i)·Δx(i)≤f(ξ(i))Δx(i)≤M(i)·Δx(i)再令：M(min)=Σ(i：1→n)m(i)·Δx(i)，M(max)=Σ(i：1→n)M(i)·Δx(i)显然：M(max)-M(min)≥0另一个方面：M(max)-M(min)Σ(i：1→n)[M(i)-m(i)]·Δx(i)根据康托定理，连续函数y=f(x)在[a，b]上必然是一致连续的，因此，根据介值定理，下述成立：？ε>；0，且令：ε=max{M(i)-m(i)}，则：？ζ>；0，使得：|x(i)-x(i-1)|<；ζ时，M(i)-m(i)<；ε因此：Δx=max{Δx(i)}lim(Δx→0)[M(max)-M(min)]=0即：当Δx→0时，M(max)和M(min)有相同的收敛值又∵M(min)≤Σ(i：1→n)f[ξ(i)]Δx(i)≤M(max)上式取Δx→0，即n→的极限，则：lim(n→)M(min)≤lim(n→)Σ(i：1→n)f[ξ(i)]。
求证：光滑曲线可求其长度 原函数存在定理：连续函数一定有原函数(光滑曲线是连续的)因此一定可积分另外 非光滑区间长度为0时可求
