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数学物理方程(谷超豪) 第三章 调和方程习题解答 去文库，查看完整内容>；内容来自用户：化水石第三章1建立方调程62616964757a686964616fe59b9ee7ad9431333433646364和定解方条程件1．设u(x1，x2，L，xn)=f(r)(r=22x1+L+xn)是n维调和函数（即满足方程？2u2？x1L+？2u2？xn0），试证明c2f(r)=c1+rn？21r(n≠2)(n=2)f(r)=c1+c2In其中c1，c2为常数。证：u=f(r)，？2u？xi2nx？u？r=f'(r)？=f'(r)？i？xi？xirf\"(r)？nxi2xi21''+f(r)？？f(r)？rr2r3？x2i=1i？u2f\"(r)？i=12rxi2f'(r)？n？f'(r)？i=13rrxi2nf\"(r)+n？1'f(r)r即方程？u=0化为f\"(r)+f\"(r)f'(r)=？n？1'f(r)=0rn？1r所以若n≠2，积分得f'(r)=A1r？(n？1)f(r)=A1r？n+2+c1？n+2即n≠2，则f(r)=c1+f'(r)=A1rrn？2故c2若n=2，则即n=2，则f(r)=c1+A1Inr1rf(r)=c1+c2In2．证明拉普拉斯算子在球面坐标(r，θ，？)下，可以写成？u=01r2？？2？u1？？u1？2u(r)+2？(sinθ)+2？？r？r？θrsinθ？θrsin2θ？？2证：球坐标(r，θ，？)与直角坐标(x，y，z)的关系：x=rsinθcos？，y=rsinθsin？，z=rcosθ？u=
