如图，已知正三棱柱ABC-A 证明：（Ⅰ）∵D、E分别是AC、A1C1的中点∴AD∥C1E，AD=C1E则四边形ADC1E为平行四边形∴AE∥C1D而AE？平面BDC1，C1D？平面BDC1，∴直线AE∥平面BDC1；（Ⅱ）设侧棱长为1，则底面边长为2，根据题意可知A1D=C1D=2，A1C.
如图，已知正三棱柱ABC=A （I）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC1，由直棱柱的性质可知，底面ABC⊥侧面A1CEN⊥侧面A1CNF为EF在侧面A1C内的射影则由CFCC1＝CNCA＝14，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C由三垂线定理可知EF⊥A1C（II）连接AF，过N作NM⊥AF与M，连接ME由（I）可知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AFEMN是二面角C-AF-E的平面角即∠EMN=θ设∠FAC=α则0°α≤45°，在直角三角形CNE中，NE=3，在直角三角形AMN中，MN=3sinα故tanθ=33sinα，又0°α≤45°∴0α≤22故当α=45°时，tanθ达到最小值，tanθ=63，此时F与C1重合．
已知正三棱柱ABC-A 根据对称性，可得球心O到正三棱柱的底面的距离为2，球心O在底面ABC上的射影为底面的中心O'，则O'A=23×32×2=233，由球的截面的性质，可得，OA2=OO'2+O'A2，则有OA=4+43=43，则球面O的表面积为4π？OA2=64π3故选D．
