正四棱柱S-ABCD的侧棱长与底面边长相等，E是SB中点，则AE，SD所成角的余弦值 设底面边长及侧棱长为a.底面正方形的对角线AC，BD相交于F，连接EF.由中位线定理知EF/AD，且等于AD的一半，即EF=a/2.由此，AE，EF 所成角即等于AE，SD所成角，又AE为正三角形SAB的中线，而SAB这正三角形.故AE=(根号3)a/2AF为正方形的对角线之半，即AF=(根号2)a/2.在三角形AEF中用余弦定理：cos(AE，SD所成角)=cos(角AEF)=[AE^2+EF^2-AF^2]/[2*AE*EF][3/4+1/4-2/4]/[2*(根号3)/2*1/2]=1/根号3=(根号3)/3
（1）三垂线定理（A1B是A1C在面ABB1内的射影，A1D是A1C在面ADD1内的射影）可证A1C垂直AE、AF，所以A1C垂直面AEF（2）（3）都能用空间向量处理，正四棱柱ABCD=A1B1C1D1是。
如图所示，正四棱柱ABCD-A （1）证明：连结AC，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，E、F分别为棱AB，BC的中点，EF∥AC，∴EF⊥BD，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥ABCD，又EF？面ABCD，∴FE⊥BB1，BD∩BB1=B，∴EF⊥平面平面BDD1B1，EF？平面B1EF，平面B1EF⊥平面BDD1B1．（2）∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中底面边长为22，侧棱长为4，E、F分别为棱AB，BC的中点，BE=BF=2，BB1⊥平面B1EF，且BB1=4，三棱锥B1-EBF的体积：V=13×S△B1EF×BB113×12×2×2×4=43．
