如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD最终，O为底面正方形的重心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论： 如图，连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确．同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确．由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2+BC2=PA2+PC2=AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，结论③正确．由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，为∠PDC，知三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC=60°，故④错误．故答案为：①②③．
有一正三棱锥和一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，把正三棱锥和正四棱锥的一个全等的面重合． 【分析】先画出几何体来，由正三棱锥和正四棱锥，它们的所有棱长都相等推知各个面都是正三角形，再由内错角相等可分别证得侧棱平行，由面与面平行的判断定理可证得两个面平面，由斜三棱柱的结构特征得到结论．(1)如图所示，是斜三棱柱．(2)正三棱锥为S-AED，正四棱锥为S-ABCD，重合的面为ΔASD，如图所示，设AD，BC中点分别为M、N，由AD⊥平面MNS知平面MNS与平面MES重合；SE=AB=MN，EM=SN，MNSE为平行四边形．ESMN，又ABMN，ESAB，四边形ABSE为平行四边形，CDES为平行四边形．面SBC∥面EAD.AB∥CD∥SE，且AB不垂直平面SBC组合体为斜三棱柱．【点评】本题主要考查空间几何体的结构特征及其内在联系．
一个三棱锥和一个正四棱锥，它们的棱长相等.问：它们重叠一个侧面后还有几个暴露面？证明你的结论 三棱锥4个面，四棱锥5个面.侧面重合后还有6个面.利用二面角来进行证明.设边长为2四棱锥底面对角线2√2，侧面的高√3，则对角线和从对角线的两个端点引的两条侧面上的高组成的等腰三角形的顶角就是重合面和四棱锥侧面的二面角.求这个二面角的一半的正弦，是对角线的一半除以侧面高.sinA=√2/√3三棱锥的一条边和这条边的两个端点引的两条侧面上的高组成的等腰三角形的顶角就是重合面和三棱锥侧面的二面角.求这个二面角的一半的正弦，是边的一半除以侧面高.sinB=1/√3(sinA)^2+(ainB)^2=1可知A+B=90°所以两个二面角的和就是180°，所以两个侧面共面.同理，对侧的两个侧面也是共面的.再加上重合的两个侧面.那么还剩余的面数就是5+4-3=6个.在写解题过程的时候，先作图，再叙述，这里只是讲解了解题方法.
