设光滑曲线y=k(x)过原点，且当x>0时，k(x)>0.对应于[0，x]一段曲线的弧长为(e^x)-1，求k(x). 设光滑曲线y=k(x)过原点，且当x>；0时，k(x)>；0.对应于[0，x]一段曲线的弧长为(e^x)-1，求k(x).解：把曲线上一段微弧看成一段直线，则其弧长dS2=dx2+dy2，故ds=√(dx2+dy2)=√(1+y′2)dx已知[0，x]∫ds=S=[0，x]∫(1+y′2)dx=e^x-1等式两边对x取导数得√(1+y′2)=e^x，故1+y′2=e^(2x)，y′2=e^(2x)-1，y′=√[e^(2x)-1]；故y=∫[e^(2x)-1]dx令e^x=secu，则(e^x)dx=secutanudu，故dx=tanudu，代入上式得：y=K(x)=∫[e^(2x)-1]dx=∫[√(sec2u-1)]tanudu=∫tan2udu=tanu-u+C={√[e^(2x)-1]}-arcsec(e^x)+C
对弧长的曲线积分的问题分段光滑曲线弧能是线段吗？定义说：“所谓分段光滑曲线弧是指，可将曲线弧分为几段，在每段的各点处都有切线，且当切点连续移动时，切线也连续转动.” 关键是里面的“切线也连续转动”这句话，如果是线段的话切线怎么能连续转动呢
曲线弧长一般求法 空间条件下，用定积分算，思路我知道，但不知道怎么去根号 大学的数学分析里面有具体的证明过程，也可以网上找这本书，看平面曲线的弧长那节的内容就可以。。
