设L是xoy平面上的一条光滑曲线弧，函数f（x，y）在L上有界．用L上的点M1，M2，…Mn-1把L分成n个小段．设 L上的点M1，M2，…Mn-1把L分成n个小段，取其中一小段Mi？1Mi来分析．只要这一小段很短，就可以用这小段上任一点（ζi，ηi）的函数值来代替这一段其它点处的函数值从而得到这一小段构件的质量的近似值为f（ξi，ηi）△Si，其中△Si为第i个小段的长度于是，整个曲线形构件的质量为ni＝1f（ξi，ηi）△Si，用λ表示这n个弧段的最大长度，为了计算曲线形构件质量的精确值，取上式右端之和当λ→0时的极限，从而得到limλ→0nλ＝1f（ξi，ηi）△Si=∫Lf（x，y）ds故选：C．
设φ，ψ有连续导数，对平面上任意一条分段光滑 的曲线L （I）将C分解为两段：C=l1+l2，另作2113一条分段5261光滑简单曲线l3围绕原点且与4102C相接，则 l1+l3 与 l2+l3 均为过原点的分段光滑简单曲线．1653则有 I=∮Cφ(y)dx+2xydy 2x2+y4=∮l1+l2 φ(y)dx+2xydy 2x2+y4=∮l1+l3 φ(y)dx+2xydy 2x2+y4-∮l2+l3 φ(y)dx+2xydy 2x2+y4=0．（II）设P＝φ(y)2x2+y4，Q＝2xy 2x2+y4，则P和Q在单连通区域x＞0内具有一阶连续偏导数．由（Ⅰ）知，曲线积分∫Lφ(y)dx+2xydy 2x2+y4 在该区域内与路径无关，故当x＞0时，总有？Q？x＝？P？y．① 因为？Q？x=2y(2x2+y4)？8x2y(2x2+y4)2=？4x2y+2y5(2x2+y4)2，？P？y＝
分段光滑的简单闭曲线是什么意思？x^2+y^2>0是分段光滑的简单闭曲线么？ 在二维平面上，分段光滑的简单闭曲线就是由一系列首尾相接的光滑曲线段组成的最终形成的封闭环，且中间不得有交叉，也即任意两段曲线除了端点之外，均无另外的交点.比如多边形即是.x^2+y^2>；0表示XOY面上除了原点(0，0)外的所有区域，显然不是分段光滑的简单闭曲线.
