如图所示，在三棱柱ABC-A （1）设AB1，交A1B于点P，连结PD，D是AC的中点PD∥B1C，B1C？平面AB1D，PD？平面AB1D，B1C∥平面A1BD；（2）∵A1A⊥底面ABC，BD？平面ABCBD⊥A1A，又底面是边长为2的正三角形，D是AC的中点．BD⊥AC，A1A∩AC=A，BD⊥平面A1ACC1，BD⊥A1D，在矩形A1ACC1中A1A=1，AC=2A1D⊥C1D，A1D⊥平面C1DB，平面A1BD⊥平面C1BD：（3）作AM⊥A1D，M为垂足，由（2）知平面A1BD⊥平面C1BD：平面A1ACC1∩平面A1BD=A1D，AM⊥平面A1BD，连接MP，则∠APM就是直线AB1与平面A1BD所成的角，A1A=1，AD=1，在RtAA1D中，AM=22，AP=12AB1=52，sin∠APM=AMAP=105．直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值105．
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为2．（1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；（2）设AB1与BC1的夹角为 （1）取BC中点D，连接AD，B1D，由正三棱锥ABC-A1B1C1，得面ABC⊥面BCC1B1．又D为三角形ABC的边BC的中点，故AD⊥BC，于是AD⊥面BCC1B1在矩形BCC1B1中，BC=2BB1=1，于是Rt△CBC1与Rt△BB1D相似，CBC1=∠BB1D，BC1⊥DB1得AB1⊥BC1（2）取BC1的中点D，AC的中点E，连DE，则DE∥AB1，∠EDB即为A B1与B C1成600角，EDB=60°，在等边三角形EDB中，BD=BE=62BC1=2BD=6BB1=6？22侧棱长为2在几何学中，三棱柱是一种柱体，底面为三角形。正三棱柱是半正多面体、均匀多面体的一种。三棱柱是一种五面体，且有一组平行面，即两个面互相平行，而其他三个表面的法线在同一平面上（不一定是平行的面）。这三个面可以是平行四边形。所有平行于底面的横截面都是相同的三角形。由于三棱柱也可以视为三面体截去2个顶点，故又称截角三面体，另外，因为正三棱柱具有对称性，且由2种正多边形组成，因此有人称正三棱柱为半正五面体。一般三棱柱有5个面、9条棱和6个顶点。两底面互相平行，侧面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，底面B1DC1的面积：12×2×3=3，A到底面的距离就是底面正三角形的高：3．三棱锥A-B1DC1的体积为：13×3×3=1．故选：C．
