如图所示,在三棱柱ABC-A (1)设AB1,交A1B于点P,连结PD,D是AC的中点PD∥B1C,B1C?平面AB1D,PD?平面AB1D,B1C∥平面A1BD;(2)∵A1A⊥底面ABC,BD?平面ABCBD⊥A1A,又底面是边长为2的正三角形,D是AC的中点.BD⊥AC,A1A∩AC=A,BD⊥平面A1ACC1,BD⊥A1D,在矩形A1ACC1中A1A=1,AC=2A1D⊥C1D,A1D⊥平面C1DB,平面A1BD⊥平面C1BD:(3)作AM⊥A1D,M为垂足,由(2)知平面A1BD⊥平面C1BD:平面A1ACC1∩平面A1BD=A1D,AM⊥平面A1BD,连接MP,则∠APM就是直线AB1与平面A1BD所成的角,A1A=1,AD=1,在RtAA1D中,AM=22,AP=12AB1=52,sin∠APM=AMAP=105.直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值105.
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为2.(1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1;(2)设AB1与BC1的夹角为 (1)取BC中点D,连接AD,B1D,由正三棱锥ABC-A1B1C1,得面ABC⊥面BCC1B1.又D为三角形ABC的边BC的中点,故AD⊥BC,于是AD⊥面BCC1B1在矩形BCC1B1中,BC=2BB1=1,于是Rt△CBC1与Rt△BB1D相似,CBC1=∠BB1D,BC1⊥DB1得AB1⊥BC1(2)取BC1的中点D,AC的中点E,连DE,则DE∥AB1,∠EDB即为A B1与B C1成600角,EDB=60°,在等边三角形EDB中,BD=BE=62BC1=2BD=6BB1=6?22侧棱长为2在几何学中,三棱柱是一种柱体,底面为三角形。正三棱柱是半正多面体、均匀多面体的一种。三棱柱是一种五面体,且有一组平行面,即两个面互相平行,而其他三个表面的法线在同一平面上(不一定是平行的面)。这三个面可以是平行四边形。所有平行于底面的横截面都是相同的三角形。由于三棱柱也可以视为三面体截去2个顶点,故又称截角三面体,另外,因为正三棱柱具有对称性,且由2种正多边形组成,因此有人称正三棱柱为半正五面体。一般三棱柱有5个面、9条棱和6个顶点。两底面互相平行,侧面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱,两个互相平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC中点,底面B1DC1的面积:12×2×3=3,A到底面的距离就是底面正三角形的高:3.三棱锥A-B1DC1的体积为:13×3×3=1.故选:C.