如图，一次函数y=-x+4的图象与反比例函数y= （1）∵点A（1，a）是一次函数y=-x+4与反比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）的交点，a=-1+4a=k，解得：a=k=3，反比例函数的表达式y=kx=3x，解y=-x+4y=3x得：A（1，3），B（3，1），故反比例函数的表达式y=kx=3x（x≠0），B点坐标为（3，1）．（2）有图象知，当1<；x<；3时，直线图象在曲线的上方，故不等式-x+4>；kx的解集为{x|1<；x<；3}．（3）找B点关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于P点，如图由（2）可知C点坐标为（3，-1），PC=PB，PB，PC同线，所以此时PA=PB最短，设直线AC方程为y=bx+c，则有3=b+c-1=3b+c，解得：b=-2，c=5，故直线AC方程为y=-2x+5，将y=0代入其中得：x=2.5，故得出P点坐标为（2.5，0），又∵A（1，3），B（3，1），PAB的面积为12×（3+1）×（3-1）-12×（3-0）×（2.5-1）-12（1-0）（3-2.5）=1.5，满足条件的P点坐标为（2.5，0），此时△PAB的面积面积为1.5．
如图，反比例函数 （1）∵A的横坐标为2，OC=2，又∵Rt△AOC的面积等于4，12OC？AC=4，可得AC=4，A（2，4），将A的坐标代入y=kx中，得k=8，则k的值为8；（2）由函数图象可得：当0或x＞4时，直线AB的函数值小于反比例函数的值；（3）过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D，如图所示：由B的横坐标为4，将x=4代入反比例解析式得：y=2，B（4，2），OD=4，BD=2，又∵OC=2，AC=4，CD=OD-OC=4-2=2，S△BOD=S△AOC=|k|2=4，S△AOB=S△AOC+S梯形ACDB-S△BOD=S梯形ACDB=(BD+AC)？CD2=2(2+4)2=6；（4）在x轴的正半轴上存在点P，使得△POA为等腰三角形，分三种情况考虑：当AO=AP1时，△P1OA为等腰三角形，A（2，4），OC=2，又∵AC⊥x轴，C为OP1的中点，OP1=4，此时P1的坐标为（4，0）；当OA=OP2时，△P2OA为等腰三角形，A（2，4），OA=25，此时P2的坐标为（25，0）；当AP3=OP3时，△P3OA为等腰三角形，此时P3为OA垂直平分线与x轴的交点，取OA的中点为M，作MN⊥x轴，O（0，0），A（2，4），M（1，2），MN=2，ON=1，OMN+∠NMP3=90°，∠MON+∠OMN=90°，NMP3=∠MON，又∠MNO=∠MNP3=90°，MON∽△P3MN，MN2=ON？NP3，即4=1？NP3，可得NP3=4，则OP3=ON+NP3=1+4=5，此时P3的坐标为（5。
如图，一次函数y=-x+b与反比例函数y= （1）∵一次函数y=-x+b的图象经过点A（-1，4）（-1）+b=4，即b=3，又∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（-1，4）k=xy=（-1）×4=-4；（2）证明：∵直线l⊥x轴于点E（-4，0）则直线l解析式为x=-4，直线x=-4与一次函数y=-x+3交于点D，则D（-4，7）直线x=-4与反比例函数y=-4x交于点C，则C（-4，1）过点A作AF⊥直线l于点F，A（-1，4），C（-4，1），D（-4，7）CD=6，AF=3，DF=3，FC=3又∵AFD=∠AFC=90°，由勾股定理得：AC=AD=32又∵AD2+AC2=(32)2+(32)2=36CD2=62=36AD2+AC2=CD2由勾股定理逆定理得：△ACD是直角三角形，又∵AD=ACACD是等腰直角三角形；（3）过点A作AP1∥BC，交y轴于P1，则S△PBC=S△ABCB（4，-1），C（-4，1）直线BC的解析式为y=-14x设直线AP1的解析式为y=-14x+b1，把A（-1，4）代入可求b1=154，P1（0，154），作P1关于x轴的对称点P2，则S△P1BC＝S△P2BCBC=S△ABC，故P2（0，-154）；即存在P1（0，154），P2（0，-154）；
