若正四棱柱ABCD-A 如图在图形中令球心为O，底面边长为a，连接OA1，OA，令OA1与底面的夹角为α，由图OA1=R，则棱柱的高是Rsinα，底面正方形的对角线长的一半是Rcosα即2a=2Rcosα，由此得底面边长是2Rcosα故正四棱柱的体积是V=2R2cos.
已知球体半径为R，内接正四棱柱，正四棱柱的体积最大时的底面棱长 2根3比3根据三元均值不等式‘三次方根(abc)《(a+b+c)/3'当a+b+c为定值时，三次方根(abc)有最大值为(a+b+c)/3(当且仅当a=b=c是取等号)因为正四棱柱的体积公式为长乘以宽乘以高，即为A*B*C当且仅当A=B=C的时候取得最大值.所以球体内体积最大的内接正四棱柱为正方体.（也可以用函数求，不过我觉得还是用三元均值不等式比较简单）假设内接正方体为ABCDabcd（请严格按照字母顺序画图，且A与a在同一棱上），连接Ac，Ac即为球体的直径2R，连接AC，因为正方体所以棱Cc垂直于面ABCD且垂直于面内直线AC，三角形ACc为直角三角形，我们设棱长为x，AB=BC=x，勾股定理求的AC=（根2）x，且Cc=x，所以Ac=（根3）x，因为Ac=2R解方程求的x等于2根3比3
已知球的直径为d，求其内接正四棱柱体积的最大值以及此时正四棱柱的高。 解：设正四棱柱的底边长为x，高为h，由于，∴，∴球内接正四棱柱的体积为，由，由上表可知，正四棱柱体积的在（0，h）上有唯一的极大值，故其最大值为，此时高为。
