求解~~~ 已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30°，SA2=12.求三棱锥的体积 如图：A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心。
已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心。 说明点S在底面ABC上的射影O为△ABC的垂心，三棱锥S-ABC为正三棱锥，记SO=h（h），求出AO，AB，表示出f（h），通过导数求出函数的最大值．【解析】∵点A在侧面SBC上的射影H。
已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心．（1）求证：三棱锥S-ABC为正三 证明：（1）如图，AH⊥面SBC，设BH交SC于E，连接AEH是△SBC的垂心BE⊥SC，AH⊥平面SBC，SC？平面SBCAH⊥SC，结合BE∩AH=HSC⊥平面ABE，AB？平面ABE，AB⊥SC设S在底面ABC内的射影为O，则SO⊥平面ABC，AB？平面ABCAB⊥SO，结合SC∩SO=SAB⊥平面SCO，CO？平面SCOCO⊥AB，同理BO⊥AC，可得O是△ABC的垂心ABC是正三角形S在底面△ABC的射影O是△ABC的中心三棱锥S-ABC为正三棱锥．（6分）（2）由（1）有SA=SB=SC=2 3，延长CO交AB于F，连接EFCF⊥AB，CF是EF在面ABC内的射影，EF⊥AB，EFC为二面角H-AB-C的平面角，∠EFC=30°，SC⊥平面ABE，EF？平面ABE，EF⊥SC，Rt△EFC中，∠ECF=60°，可得Rt△SOC中，OC=SCcos60°=3，SO=SCsin60°=3，正三角形ABC中，AB=3 OC=3，S△ABC=3 4？3 2=9 3 4V S-ABC=1 3 S△ABC？SO=9 3 4…（12分）
