已知正三棱柱ABC-A 由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：2 3；所以外接球的半径为：(2 3)2+3 2=21．
如图，已知正三棱柱ABC=A （I）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC1，由直棱柱的性质可知，底面ABC⊥侧面A1CEN⊥侧面A1CNF为EF在侧面A1C内的射影则由CFCC1＝CNCA＝14，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C由三垂线定理可知EF⊥A1C（II）连接AF，过N作NM⊥AF与M，连接ME由（I）可知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AFEMN是二面角C-AF-E的平面角即∠EMN=θ设∠FAC=α则0°α≤45°，在直角三角形CNE中，NE=3，在直角三角形AMN中，MN=3sinα故tanθ=33sinα，又0°α≤45°∴0α≤22故当α=45°时，tanθ达到最小值，tanθ=63，此时F与C1重合．
已知正三棱柱ABC-A 取BC的中点E，连接C1E，AE，则AE⊥BC，∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，面ABC⊥面BB1C1C，面ABC∩面BB1C1C=BC，∴AE⊥面BB1C1C，∴AC1E就是AC1与平面BB1C1C所成的角，不妨设正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，则C1E=5，.
