如图，在正三棱柱ABC-A 设AC=a，CC1=b，截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则由（a2+14b2）×2=a2+b2，得b2=2a2，又12×32a2=6，a2=8，∴V=34×8×4=83．故答案为：83
如图，正三棱柱ABC-A 证明：（1）∵棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱∴CC1⊥平面ABC，又∵AD？平面ABC，∴CC1⊥AD又∵正三角形ABC中，D是BC的中点．∴AD⊥BC∵BC∩CC1=C，∴AD⊥面BCC1B1．（2）连结A1B，交AB1于E，连接DE，∵D为BC的中点，E是A1.
如图，正三棱柱ABC-A 取BC中点O，连接AO．ABC为正三角形，∴AO⊥BC、正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，AO⊥平面BCC1B1，取B1C1中点O1，以0为原点，OB，OO1，OA 的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系则B（1，0，0），D（-1，1，0），A1（0，2，3），A（0，0，3），B1（1，2，0），（Ⅰ）AB1′＝(1，2，？3)，A1B′＝(？1，2，3)，BD′＝(？2，1，0)AB1′？A1B′=-1+4-3=0，A1B′？BD′＝？2+2+0＝0AB1⊥BD，AB1⊥BA1，AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）平面A1BD的法向量为AB1′＝(1，2，？3)设平面A1AD的法向量为n=（x，y，z），∴n？AA1′＝0n？AD′＝0，∴2y＝0？x+y？3z＝0令z=1、y=0、x=-3，则n＝(？3，0，1)cos，AB1′＞＝？64设二面角A-A1D-B的平面角为θ，即cosθ＝64sinθ＝1？616＝104即二面角A-A1D-B的正弦值为104．
